Ottimizzazione vincolata
Salve ! Ho questi tre begli esercizi da risolvere senza ricorrere ai moltiplicatori di Lagrange! 
1) $min f(x,y,z) = x^2 + z^2 + (y - 1)^2$ su $y = sqrt(x^2 + z^2)$
Facendo qualche valutazione geometrica si vede che la funzione obiettivo non è altro che la distanza del generico punto di coordinate $(x,y,z)$ dall punto $P_0 = (0,1,0)$ mentre il vincolo è un cono circolare (o meglio... la parte di cono nel semispazio delle y positive) avente asse di simmetria coincidente con y. I punti del cono a minima distanza da $P_0$ (che si trova sull'asse y) sono dati dall'intersezione del cono col piano parallelo a xz e passante per $P_0$ (di equazione y = 1), cioè sono i punti presenti sulla circonferenza data da {$(x,y,z) in RR^3 : y = 1, x^2 + z^2 = 1}.
Corretto ?
2) $min f(x,y) = 1 / (x + y)$ su $F(x,y) = 2x^2 + y^2 - 1 = 0$
Il vincolo, essendo un'ellisse, è compatto... si potrebbe quindi dedurre (grazie a Weierstrass) che esiste un massimo e un minimo assoluto per la funzione obiettivo su F, ma.... mi accorgo che f non è definita sulla bisettrice del II e IV quadrante, che interseca l'ellisse in due punti... ergo... il vincolo non è chiuso e limitato perché presenta due "buchi"
Questo implica che non posso dare una rappresentazione parametrice dell'ellisse, giusto ? E che devo andarci piano anche con la sostituzione del vincolo nella funzione obiettivo.....
Come risolvo il problema ?
3) $min f(x,y) = 1/(x^4+8y^2)$ su $F(x,y) = x^2 - y^2 - 4 = 0$
Il vincolo è un'iperbole equilatera, non è compatto, addio Weierstrass.
Ma qui succede qualcuno di strano.... se ricavo x^2 dal vincolo e lo sostituisco nella funzione obiettivo ottengo una funzione nella sola variabile y che raggiunge un massimo in y = 0 (corrispondente ai punti $P_0 = (2, 0)$ e $P_1 = (-2, 0)$)... a questo punto posso concludere che $P_0$ e $P_1$ sono punto di max assoluto per f su F? Il fatto che la funzione obiettivo sia "simmetrica rispetto a z" (non so se è giusto parlare di simmetrie in $RR^3$) e strettamente positiva mi posso suggerire qualcosa ?
Grazie in anticipo a chi si cimenterà
1) $min f(x,y,z) = x^2 + z^2 + (y - 1)^2$ su $y = sqrt(x^2 + z^2)$
Facendo qualche valutazione geometrica si vede che la funzione obiettivo non è altro che la distanza del generico punto di coordinate $(x,y,z)$ dall punto $P_0 = (0,1,0)$ mentre il vincolo è un cono circolare (o meglio... la parte di cono nel semispazio delle y positive) avente asse di simmetria coincidente con y. I punti del cono a minima distanza da $P_0$ (che si trova sull'asse y) sono dati dall'intersezione del cono col piano parallelo a xz e passante per $P_0$ (di equazione y = 1), cioè sono i punti presenti sulla circonferenza data da {$(x,y,z) in RR^3 : y = 1, x^2 + z^2 = 1}.
Corretto ?
2) $min f(x,y) = 1 / (x + y)$ su $F(x,y) = 2x^2 + y^2 - 1 = 0$
Il vincolo, essendo un'ellisse, è compatto... si potrebbe quindi dedurre (grazie a Weierstrass) che esiste un massimo e un minimo assoluto per la funzione obiettivo su F, ma.... mi accorgo che f non è definita sulla bisettrice del II e IV quadrante, che interseca l'ellisse in due punti... ergo... il vincolo non è chiuso e limitato perché presenta due "buchi"
Questo implica che non posso dare una rappresentazione parametrice dell'ellisse, giusto ? E che devo andarci piano anche con la sostituzione del vincolo nella funzione obiettivo.....
Come risolvo il problema ?
3) $min f(x,y) = 1/(x^4+8y^2)$ su $F(x,y) = x^2 - y^2 - 4 = 0$
Il vincolo è un'iperbole equilatera, non è compatto, addio Weierstrass.
Ma qui succede qualcuno di strano.... se ricavo x^2 dal vincolo e lo sostituisco nella funzione obiettivo ottengo una funzione nella sola variabile y che raggiunge un massimo in y = 0 (corrispondente ai punti $P_0 = (2, 0)$ e $P_1 = (-2, 0)$)... a questo punto posso concludere che $P_0$ e $P_1$ sono punto di max assoluto per f su F? Il fatto che la funzione obiettivo sia "simmetrica rispetto a z" (non so se è giusto parlare di simmetrie in $RR^3$) e strettamente positiva mi posso suggerire qualcosa ?
Grazie in anticipo a chi si cimenterà
Risposte
"Mezcalito":
1) $min f(x,y,z) = x^2 + z^2 + (y - 1)^2$ su $y = sqrt(x^2 + z^2)$
Facendo qualche valutazione geometrica si vede che la funzione obiettivo non è altro che la distanza del generico punto di coordinate $(x,y,z)$ dall punto $P_0 = (0,1,0)$ mentre il vincolo è un cono circolare (o meglio... la parte di cono nel semispazio delle y positive) avente asse di simmetria coincidente con y. I punti del cono a minima distanza da $P_0$ (che si trova sull'asse y) sono dati dall'intersezione del cono col piano parallelo a xz e passante per $P_0$ (di equazione y = 1), cioè sono i punti presenti sulla circonferenza data da {$(x,y,z) in RR^3 : y = 1, x^2 + z^2 = 1}.
Corretto ?
non mi sembra corretto.
direi invece che i punti cercati sono i punti di contatto tra il cono e la sfera centrata in $P_0 = (0,1,0)$ e tangente (cioe' tangente "internamente", in altre parole la sfera e' contenuta nel cono ed e' ad esso tangente) al cono stesso.
viene sempre fuori una corconferenza, ma non e' quella che dici tu (mio sembra).
alex
"codino75":
[quote="Mezcalito"]
1) $min f(x,y,z) = x^2 + z^2 + (y - 1)^2$ su $y = sqrt(x^2 + z^2)$
Facendo qualche valutazione geometrica si vede che la funzione obiettivo non è altro che la distanza del generico punto di coordinate $(x,y,z)$ dall punto $P_0 = (0,1,0)$ mentre il vincolo è un cono circolare (o meglio... la parte di cono nel semispazio delle y positive) avente asse di simmetria coincidente con y. I punti del cono a minima distanza da $P_0$ (che si trova sull'asse y) sono dati dall'intersezione del cono col piano parallelo a xz e passante per $P_0$ (di equazione y = 1), cioè sono i punti presenti sulla circonferenza data da {$(x,y,z) in RR^3 : y = 1, x^2 + z^2 = 1}.
Corretto ?
non mi sembra corretto.
direi invece che i punti cercati sono i punti di contatto tra il cono e la sfera centrata in $P_0 = (0,1,0)$ e tangente (cioe' tangente "internamente", in altre parole la sfera e' contenuta nel cono ed e' ad esso tangente) al cono stesso.
viene sempre fuori una corconferenza, ma non e' quella che dici tu (mio sembra).
alex[/quote]
Seziona il tuo cono col piano $Oxy$ (ossia il piano d'eq. cartesiana $pi_z:quad z=0$) ed osserva che i punti dell'intersezione $Ccap pi_z$ (pongo $C: quad y=sqrt(x^2+z^2)$) che danno il minimo alla distanza da $P_0$ sono i piedi delle perpendicolari a $Ccap pi_z$ condotte per $P_0$: dato che $Ccap pi_z$ è costituita dalle due semirette di $Oxy$ d'equazioni:
$\{(y=x),(xge 0):}$
$\{(y=-x),(xle 0):}$
e che le perpendicolari a tali semirette condotte per $P_0$ sono le rette d'equazioni $y=-x+1$ ed $y=x+1$, i piedi delle perpendicolari sono i punti di coordinate $(1/2,1/2)$ e $(-1/2,1/2)$. Tali punti hanno distanza da $P_0$ pari a $1/sqrt(2)$.
Se al posto di $pi_z$ si sceglie un piano del fascio proprio passante per l'asse $y$, ossia un piano con equazione nella forma $pi_(theta):quad costheta*x+sin theta*z=0$ (qui $theta in [0,2pi[$), si può ragionare del tutto analogamente al caso precedente, trovando che i punti minimizzanti la distanza da $P_0$ su $Ccap pi_(theta)$ hanno ordinata uguale a $1/2$ per ogni valore di $theta$.
Ne consegue che i punti di $C$ che danno il minimo alla tua funzione sono tutti e soli quelli che stanno sul piano d'equazione $y=1/2$.
WOW !
Dalla risposta di codino ero riuscito ad arrivare "ad occhio" alla soluzione, ma non sarei mai riuscito a formalizzare il problema in maniera così "semplice" e rigorosa
Grazie Gugo .... e grazie codino per la dritta
Dalla risposta di codino ero riuscito ad arrivare "ad occhio" alla soluzione, ma non sarei mai riuscito a formalizzare il problema in maniera così "semplice" e rigorosa
Grazie Gugo .... e grazie codino per la dritta
Ciao a tutti,
se si tiene conto del vincolo la "funzione può essere vista nella sola y" così:
$ y^2+(y-1)^2$ da cui, con l'ausilio immediato della derivata, si deduce che occorre e basta che sia $y=1/2$ e, dunque, il minimo è $1/2$.
se si tiene conto del vincolo la "funzione può essere vista nella sola y" così:
$ y^2+(y-1)^2$ da cui, con l'ausilio immediato della derivata, si deduce che occorre e basta che sia $y=1/2$ e, dunque, il minimo è $1/2$.
Ciao Mezcalito,
non mi convince quello che hai trovato sul 3). Prova a rifare i conti.
non mi convince quello che hai trovato sul 3). Prova a rifare i conti.
Per il 2), comincerei col notare che $f(x,y)$ non è limitata né inferiormente né superiormente nel piano privato dei punti della bisettrice II-IV; inoltre comunque fissi un punto $P_0=(x_0,y_0)$ sulla bisettrice II-IV, risulta:
$lim_(stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{y> -x}) f(x,y)=+oo quad$ e $quad lim_(stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{y<-x}) f(x,y)=-oo$
(ciò significa che quando mi avvicino a $P_0$ dal semipiano che sta sopra la bisettrice trovo valori sempre più "grandi e positivi" di $f$, mentre se mi avvicino dal semipiano che sta sotto la bisettrice trovo valori sempre più "grandi e negativi" di $f$).
Visto che il tuo vincolo interseca la bisettrice II-IV in due punti, è pressochè evidente che tali punti saranno delle singolarità della funzione obiettivo intorno alle quali essa non si mantiene limitata né inferiormente né superiormente, onde $"inf"_E f=-oo$ e $"sup"_E f=+oo$ (ovviamente $E:quad 2x^2+y^2=1$ è il vincolo).
Ne consegue che la tua $f$ non è dotata né di minimo né di massimo su $E$.
Per il 3), il mio aiutante cinese consiglia: "Studiale il segno di $f$ e calcolale $lim_((x,y)to oo) f(x,y)$ poltelà glandi soddisfazioni in tua vita".
$lim_(stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{y> -x}) f(x,y)=+oo quad$ e $quad lim_(stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{y<-x}) f(x,y)=-oo$
(ciò significa che quando mi avvicino a $P_0$ dal semipiano che sta sopra la bisettrice trovo valori sempre più "grandi e positivi" di $f$, mentre se mi avvicino dal semipiano che sta sotto la bisettrice trovo valori sempre più "grandi e negativi" di $f$).
Visto che il tuo vincolo interseca la bisettrice II-IV in due punti, è pressochè evidente che tali punti saranno delle singolarità della funzione obiettivo intorno alle quali essa non si mantiene limitata né inferiormente né superiormente, onde $"inf"_E f=-oo$ e $"sup"_E f=+oo$ (ovviamente $E:quad 2x^2+y^2=1$ è il vincolo).
Ne consegue che la tua $f$ non è dotata né di minimo né di massimo su $E$.
Per il 3), il mio aiutante cinese consiglia: "Studiale il segno di $f$ e calcolale $lim_((x,y)to oo) f(x,y)$ poltelà glandi soddisfazioni in tua vita".
"gugo82":
Per il 2), comincerei col notare che $f(x,y)$ non è limitata né inferiormente né superiormente nel piano privato dei punti della bisettrice II-IV; inoltre comunque fissi un punto $P_0=(x_0,y_0)$ sulla bisettrice II-IV, risulta:
$lim_(stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{y> -x}) f(x,y)=+oo quad$ e $quad lim_(stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{y<-x}) f(x,y)=-oo$
(ciò significa che quando mi avvicino a $P_0$ dal semipiano che sta sopra la bisettrice trovo valori sempre più "grandi e positivi" di $f$, mentre se mi avvicino dal semipiano che sta sotto la bisettrice trovo valori sempre più "grandi e negativi" di $f$).
Visto che il tuo vincolo interseca la bisettrice II-IV in due punti, è pressochè evidente che tali punti saranno delle singolarità della funzione obiettivo intorno alle quali essa non si mantiene limitata né inferiormente né superiormente, onde $"inf"_E f=-oo$ e $"sup"_E f=+oo$ (ovviamente $E:quad 2x^2+y^2=1$ è il vincolo).
Ne consegue che la tua $f$ non è dotata né di minimo né di massimo su $E$.
Per il 3), il mio aiutante cinese consiglia: "Studiale il segno di $f$ e calcolale $lim_((x,y)to oo) f(x,y)$ poltelà glandi soddisfazioni in tua vita".
Perfetto !!!
Direi che ci siamo
Grazie ancora......
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