Ottimizzazione libera?

[giolb10]

salve, sto risolvendo un esercizio di ottimizzazione, una funzione è del tipo $f(x,y)=$[tex]e^{x^2y+y^3+12x-15y }[/tex] il libro dice che la funzione esponenziale e monotona crescente e i punti di massimo e minimo di $f(x,y)$ sono gli stessi della funzione $log f(x,y)$ , perchè?

[ciampax]

Pensa al caso semplice di [tex]$F(t)=e^{f(t)}$[/tex] di una funzione in una variabile. Se calcoli la derivata prima ottieni [tex]$F'(t)=F(t)\cdot f'(t)$[/tex] ti rendi conto che determinare il segno della derivata di $F$ equivale a determinare quello della derivata di $f$. Questo implica che le proprietà di monotonia della funzione $F$ derivano da quelle della funzione $f$. (Questa è una spiegazione intuitiva ma non totalmente rigorosa. Si può spiegare "meglio", ma al fine della tua richiesta è più che sufficiente per capire quello che l'esercizio ti suggerisce).

[giolb10]

ti ringrazio molto, sei stato chiarissimo!! mentre nel caso di una radice perchè si dice si studia l'argomento della radice ?

[Luca.Lussardi]

Rifai lo stesso conto istruttivo illustrato da ciampax, e scopri che concludi la stessa cosa: il segreto è che $F \geq 0$ in entrambi i casi e quindi la derivata non cambia segno.

[giolb10]

si hai ragione, solo che ovviamente nel caso della radice deve essere $F>0$ non $f>=0$ essendo $F$ sempre > di 0 si conclude che basta studiare il segno dell'argomento. grazie

[ciampax]

Una osservazione: lo stesso vale anche per [tex]$F(x)=\log f(x)$[/tex] e questi casi sono tutti accomunati dal fatto che le funzioni [tex]$\log x,\ e^x,\ \sqrt{x}$[/tex] risultano tutte monotone strettamente crescenti sul loro dominio.

[giolb10]

mi è venuto un'altro dubbio facendo un altro esercizio mi sono chiesto se si può fare un discorso analogo al precedente anche per una funzione del genere $(8+x^2+y^2)e^{x^2+y^2 } $ dubito si possa fare perchè stiamo parlando della derivata di un prodotto, ma i minimi e i massimi vengono sia se considero solo il primo fattore(singolarmente) sia se considerò entrambi, ora vi chiedo se sia stato solo un caso (credo di si)? in un esercizio del genere esistono scorciatoie per calcolare i minimi e massimi per esempio su una qualsiasi retta, senza farsi la derivata del prodotto?
grazie

[ciampax]

In questo caso avresti [tex]$F(t)=f(t)\cdot e^{g(t)}$[/tex] per cui la derivata diventa [tex]$F'(t)=e^{g(t)}(f'(t)+g'(t))$[/tex] e quindi basta concentrarsi sulla somma [tex]$f'(t)+g'(t)$[/tex]. Nella situazione che proponi osserva che le derivate di $f$ e $g$ coincidono, ecco il perché della similitudine. Già se avessi avuto la funzione [tex]$(x^2-y^2+xy)e^{x^2+2y^2}$[/tex] le cose sarebbero cambiate notevolmente. In generale non puoi sperare di "semplificare" gli esponenziali, a meno che non ci siano solo loro (come prima).

[giolb10]

ciao, è vero questo è un caso particolare, è per quello che combaciano i punti critici, comunque non mi ritrovo con ciò che dici tu ( in due variabili) il discorso che hai fatto tu funziona solo quando ho una sola variabile no? se provassi a concentrarmi come dici tu solo su $f'(t)+g'(t)$ avrei nell'esempio (derivando rispetto a x) $2x+2x=4x$ e fino a qui va tutto bene perché la funzione ausiliaria($f'+g'$ mi si annulla dove si annulla la funzione completa, ma se provo invece ad avvicinarmi ad una retta facendo diventare il problema di ottimizzazione vincolata allora il discorso non vale più. sei d'accordo?

[ciampax]

Ops, scusa, mi sono dimenticato una cosa: la derivata giusta è questa

[tex]$F'(t)=e^{g(t)}\left(f'(t)+f(t)\cdot g'(t))$[/tex]

Adesso funziona tutto. Comunque considera che l'esempio che ti faccio in una variabile va poi riscritto con le derivate parziali in più variabili. Quindi nel tuo caso avresti:

[tex]$2x+(8+x^2+y^2)(2x)=0,\ 2y+(8+x^2+y^2)(2y)=0$[/tex]

e l'unica soluzione risulta [tex]$(x,y)=(0,0)$[/tex].

[giolb10]

è vero, non me ne ero accorto nemmeno io, certo così è giusto e torna tutto, grazie mille...

[ciampax]

Prego, figurati.