Ottimizzazione libera

[argo93]

Salve a tutti ho un problema con un esercizio di ottimizzazione libera; l'esercizio mi chiede di dimostrare che il punto $ P=(0,0) $ è punto di minimo assoluto per la funzione $ (x^4)+(x^2)y+y^2+3 $ .
innanzitutto ho fatto il gradiente e l'ho posto uguale a 0 per verificare che $ (0,0) $ fosse punto critico e torna; allora ho provato a studiarne la natura con l'hessiana in $ (0,0) $ ma essendo un polinomio ho ottenuto la matrice $ ( ( 0 , 0),( 0 , 2 ) ) $ con determinante = 0 quindi caso dubbio.
Ho pensato allora di dover utilizzare il metodo degli autovalori; si ricava subito dalla matrice che gli autovalori sono 0 e 2 quindi siamo in un caso semidefinito positivo e non posso dire nulla.
Sbaglio qualcosa oppure ho proprio preso strade sbagliate?
Grazie in anticipo.

[Sacaio]

Forse non è proprio una soluzione da manuale, ma personalmente farei così: verificato che $P=(0,0)$ è un minimo (e questo lo hai fatto) posso affermare che è assoluto se non $\exists (x,y) != (0,0) \in \mathbb{R^2} : f(x,y) < f(0,0) = (0)^4+(0)^2(0)+(0)^2+3 = 3$. Questo si verifica se e solo se $g(x,y) = x^4+x^2y+y^2 > 0 \forall (x,y)$.

Posso anche scrivere $g(x,y) = (x^2 + y)^2 -x^2y > 0$.

Porto il secondo termine a secondo membro:

$(x^2 + y)^2 > x^2y$

Questa diseguaglianza è sempre vera (di facile verifica).

[gio73]

ciao argo

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[argo93]

Grazie mille a sacaio per la risposta molto chiara.
chiedo scusa per il titolo.