Ottimizzazione: estremi vincolati

[miki200897]

Ragazzi, ho un dubbio per quanto riguarda l'ottimizzazione con estremi vincolati.
Oltre al metodo della Lagrangiana, se il vincolo è esprimibile posso sostituirlo nella mia funzione in due variabili ed otterne una in una variabile, più facile da studiare.

L'esempio è il seguente

$ (x-1)^2+y^2 $
Vincolo : $x^2-y^2=1$

In questo caso ottengo $y^2=x^2-1$
Tuttavia facendo i conti ottengo una x come minimo per cui non ha senso la y ( radice di un numero negativo ) e non rispecchia le soluzioni che sono
$min: (1,0),(-1,0)$

Scrivo sul forum perchè questo metodo spesso mi dà la giusta soluzione, ma anche altre volte non capisco il perchè o il motivo dell'errore

[cata140793]

Ci sono casi in cui il vincolo non è esplicitabile e in questi casi devi comunque procedere con i Moltiplicatori. Il vincolo non è esplicitabile quando la variabile non può essere espressa in termini di un'altra variabile. In termini analitici:
Sia $h(x)$ vincolo della funzione $f(x,y)$ se il vincolo è esplicitabile abbiamo $y=h(x)$ o in alternativa $x=h(y)$
(dai un'occhiata all'argomento "funzioni implicite" per farti un'idea generale)
Nel tuo caso, a prescindere dalla teoria, hai un risultato che è impossibile (la radice quadrata di un numero negativo), ti consiglio di tenere in considerazione il metodo dei moltiplicatori, sicuramente è un procedimento più lungo ma almeno si ha la sicurezza (quasi totale) di arrivare ad una soluzione

[cata140793]

Costruisci la Lagrangiana:
$L=f(x,y)-M(h(x)-c)$

dove M= moltiplicatore
c= costante del vincolo ( che va a primo membro per rendere $h(x)=0$)
Scrivi le condizioni di primo ordine (derivate parziali di x, di y e del moltiplicatore M) e ponile uguali a zero.
A questo punto avrai un sistema di tre equazioni in tre incognite (facile da risolvere)
$ \ ( ( x - 1 - xM=0) , (y - yM=0) , (x^2.y^2-1=0) ) \ $

dalla seconda equazione ottieni che $y=0$, sostituisci alla terza e ottieni due valori di x che sono $+-$1
che sono le soluzioni del tuo problema.

[miki200897]

"Cate93":Ci sono casi in cui il vincolo non è esplicitabile e in questi casi devi comunque procedere con i Moltiplicatori. Il vincolo non è esplicitabile quando la variabile non può essere espressa in termini di un'altra variabile. In termini analitici:
Sia $h(x)$ vincolo della funzione $f(x,y)$ se il vincolo è esplicitabile abbiamo $y=h(x)$ o in alternativa $x=h(y)$
(dai un'occhiata all'argomento "funzioni implicite" per farti un'idea generale)
Nel tuo caso, a prescindere dalla teoria, hai un risultato che è impossibile (la radice quadrata di un numero negativo), ti consiglio di tenere in considerazione il metodo dei moltiplicatori, sicuramente è un procedimento più lungo ma almeno si ha la sicurezza (quasi totale) di arrivare ad una soluzione

Si effettivamente con la Lagrangiana torna, ma avevo aperto la discussione proprio per capire il come e quando poter esplicitare il vincolo. Da quel che ho capito posso utilizzarlo solamente quando il vincolo è "esattamente" esplicitabile perchè altrimenti rischio di non rispettare le ipotesi del Teorema del Dini? Fino ad ora ho fatto come nell'esempio precedente, se il vincolo è esplicitabile come y al quadrato e nella mia funzione compare solo al quadrato lo lasciavo in questo modo.

[cata140793]

Si esatto, la forma che dovresti ottenere esplicitando dovrebbe essere $f(x,h(x))$