Ottimizzazione

[franchinho]

Buongiorno, ho la seguente funzione di utilità: $ U(c,l)=(c^(1-k))/(1-k)-l $ dove $ c=wl $.
Imposto il problema di massimizzazione:
$ Max U(c,l)=(wl)^(1-k)/(1-k)-l $ quindi faccio la derivata rispetto a $l$ e la pongo uguale a zero: $ d/(dl)((wl)^(1-k)/(1-k)-l)=0->d/(dl)((wl)^(1-k)/(1-k))-d/(dl)=0->1/(1-k)*d/(dl)((wl)^(1-k))-1=0-> $ $ 1/(1-k)*(1-k)(wl)^(1-k-1)-1=0->(wl)^(-k)=1->w^(-k)*l^(-k)=1->l^(-k)=1/(w^(-k)) $ $ -> l^(-k)=w^k->l=(w^k)^(-1/k)->l=1/w $, fin qui è corretta?
Poi si inserisce una tassa pari a $ (1-t) $ e quindi c diventa: $ c=wl(1-t) $.
Imposto nuovamente il problema di massimizzazione:
$ MaxU(c,l)=((wl(1-t))^(1-k))/(1-k)-l $, quindi faccio la derivata rispetto a $l$ e la pongo uguale a zero: $ d/(dl)((wl(1-t))^(1-k)/(1-k))-d/(dl)(l)=0 $ $ ->1/(1-k)*d/(dl)(wl(1-t))^(1-k)-1=0->1/(1-k)*(1-k)*(wl(1-t))^(1-k-1)-1=0 $ $ ->w^(-k)*l^(-k)*(1-t)^(-k)=1->l^(-k)=1/(w^-k*(1-t)^-k)->l^-k=1/(w(1-t))^(-k) $ $ ->l^(-k)=(w(1-t))^k->l=((w(1-t))^k)^(-1/k)->l=1/(w(1-t) $
ma il risultato del libro è: $ l=(w(1-t))^(1/k) $. Dove sbaglio?

[Lo_zio_Tom]

Rivedi le regole di derivazione elementari, ad un certo punto hai scritto che

$d/(dl)(wl)^(1-k)=(1-k)(wl)^(1-k-1)$

mentre da ciò che capisco $w$ (che dovresti contestualizzare, fra l'altro) è solo un parametro della funzione di utilità e quindi la derivata verrebbe

$(1-k)(w^(1-k))/l^k$

Non sono andato avanti a fare i conti né ho controllato se i risultati del libro siano corretti, ma una cosa è certa: se vuoi aiuti devi necessariamente contestualizzare meglio la questione, che dovrebbe essere un problema di Macroeconomia, vero?

Così come lo hai scritto è arabo....immagino che c siano i consumi, w (wages) i salari ed l (labour) , lavoro...poi ad un certo punti dici "si inserisce una tassa di $(1-t)$ e poi fai i consumi moltiplicati per $(1-t)$....allora la tassa è $t$ , non $(1-t)$

insomma...una confusione pazzesca...

EDIT: anyway, partendo dalla funzione di utilità che hai scritto tu (già quella con la tassa), in due passaggi ottieni il risultato

$U(l)=[w(1-t)]^(1-k)/(1-k)l^(1-k)-l$

$d/(dl)U=[w(1-t)]^(1-k)/l^k-1=0 rarr l=[w(1-t)]^((1-k)/k)=[w(1-t)]^(1/k-1)$

quindi mi pare sbagliato sia il tuo risultato che quello del testo.

saluti