Ottenere una derivata differenziando un'equazione
Ciao a tutti, nel fare un esercizio di termodinamica il mio professore ha fatto una cosa che non mi sembra rigorosa, vorrei quindi che qualcuno mi desse una spiegazione formale del suo risultato.
Si aveva l'equazione $ p_0e^-\frac{V}{V_a}V =nRT $ , per ottenere la derivata del volume rispetto alla temperatura io ho pensato di ricavare V in funzione degli altri parametri, ma così a prima vista mi sembra difficile, e anzi mi pareva di aver letto da qualche parte che era proprio impossibile. Il mio professore invece ha differenziato entrambi i membri ottenendo: $ p_0e^-\frac{V}{V_a}(-\frac{V}{V_a}+1)dV =nRdT $
poi ha diviso per dT ottenendo infine $ \frac{dV}{dT}=\frac{nR}{p_0}e^\frac{V}{V_a}(\frac{1}{1-V/V_a}) $
E' questa una applicazione del metodo orangu-tangu? Se si come posso ottenere la stessa derivata? Ora mi è venuto in mente il teorema di Dini, è forse una soluzione?
Si aveva l'equazione $ p_0e^-\frac{V}{V_a}V =nRT $ , per ottenere la derivata del volume rispetto alla temperatura io ho pensato di ricavare V in funzione degli altri parametri, ma così a prima vista mi sembra difficile, e anzi mi pareva di aver letto da qualche parte che era proprio impossibile. Il mio professore invece ha differenziato entrambi i membri ottenendo: $ p_0e^-\frac{V}{V_a}(-\frac{V}{V_a}+1)dV =nRdT $
poi ha diviso per dT ottenendo infine $ \frac{dV}{dT}=\frac{nR}{p_0}e^\frac{V}{V_a}(\frac{1}{1-V/V_a}) $
E' questa una applicazione del metodo orangu-tangu? Se si come posso ottenere la stessa derivata? Ora mi è venuto in mente il teorema di Dini, è forse una soluzione?
Risposte
Ciao, sì, il teorema delle funzioni implicite è quello a cui si fa di fatto ricorso.
Quello del professore è un metodo empirico, menmonico, che serva a ricordare cosa fare in pratica.
Sono impattata nel tuo stesso problema studiando economia, e mi pare che sia lo stesso in fisica, nel tuo esempio.
Si facevano derivate a pacchi con questa tecnica, che mi lasciava perplessa, per poi scoprire successivamente studiando matematica che in realtà la motivazione rigorosa è il teorema delle funzioni implicite, quella che si faceva era un 'praticaccia'.
Quello del professore è un metodo empirico, menmonico, che serva a ricordare cosa fare in pratica.
Sono impattata nel tuo stesso problema studiando economia, e mi pare che sia lo stesso in fisica, nel tuo esempio.
Si facevano derivate a pacchi con questa tecnica, che mi lasciava perplessa, per poi scoprire successivamente studiando matematica che in realtà la motivazione rigorosa è il teorema delle funzioni implicite, quella che si faceva era un 'praticaccia'.
La termodinamica è piena di ragionamenti così. Non sono mai riuscito veramente a capire queste manipolazioni, che effettivamente non appoggiano sulle definizioni della matematica ma su ragionamenti fisici. Quindi matematicamente questi passaggi non sono rigorosi. Tuttavia, credo che sia addirittura un problema aperto di Hilbert il trovare una assiomatizzazione rigorosa della termodinamica. In altre parole è più di un secolo che la gente ci prova, e non ci riesce.
Meglio cambiare chip e cercare di studiare vedendo le cose nell'ottica della fisica, e non della matematica. Qui, anni fa, avevo postato un link a un libro in cui un matematico dice un paio di parole molto interessanti su questo argomento.
Meglio cambiare chip e cercare di studiare vedendo le cose nell'ottica della fisica, e non della matematica. Qui, anni fa, avevo postato un link a un libro in cui un matematico dice un paio di parole molto interessanti su questo argomento.
Ancora una volta ci si trova a parlare dei differenziali in fisica. 
Ne approfitto per dire la mia impressione.
Venendo da economia, ho potuto vedere un'altra applicazione della matematica, all'economia oltre che alla fisica; quest'ultima l' ho fatta pochissimo, ma un po' l'ho fatta per avere un'idea dell'uso degli infinitesimi in fisica e fare un confronto.
Quello che distingue la matematica applicata all'economia dalla matematica pura è il fatto che la matematica viene piegata a trovare significati economici, cioè a molte (non tutte) formule e manipolazioni viene attribuito una interpretazione economica, non solo formale, e a quello scopo spesso si procede con le manipolazioni matematiche, cioè si fanno quelle che fanno comodo per aver insight economici.
Una cosa simile mi sembra che si veda in fisica. Mi spiego.
Limitandosi al discorso degli infinitesimi, da un punto di vista formale/matematico l'esempio delle derivate che fa Cannone Speciale è identico a quello che ho spesso trovato in economia, uno short-cut per fare i passaggi, dietro di cui c'è il teorema delle funzioni implicite. Non credo quindi che qui, intendo nel calcolare in quel modo la derivata, ci sia qualcosa di specificamente fisico.
Detto questo, però, c'è in fisica, in quelle formule, un uso sostanziale degli infinitesimi che in economia non c'è.
Cioè i vari $dv, ds$ etc. in fisica vengono interpretati come 'quantità infinitamente piccole' (qualunque cosa questo significhi, ma pare che i fisici si capiscono). Perché è utile, è cosa buona e giusta dal punto di vista della fisica usare questa interpretazione.
Ma appunto, si tratta di una interpretazione fisica dei vari $dv, ds$, che si sovrappone al lato matematico, ma è distinto da questo.
Voglio dire, la matematica quella è, le formule e i passaggi quelli sono, nessun fisico verrà mai a dire che si è inventato qualcosa di nuovo matematicamente o fa qualcosa di insolito. Solo che poi la fisica fa un uso delle formule con $dv, ds$ etc., per così dire in più, vi si inserisce un lato non matematico, i significati fisici che risulta utile attribuirvi.
In sintesi, penso che bisogna distinguere il lato matematico dal lato dalla interpretazione fisica, mi sembrano due piani diversi.
E anche se si possono trovare giustificazioni matematiche ai $dv$ etc., come l'analisi non standard o le forme differenziali o quant'altro, secondo me lì , a quel livello almeno, non è necessario e non c'entra. E' un discorso diverso, lì basta, come poi dice dissonance, la visione fisica che si sovrappone e usa la matematica e la piega alle sue esigenze.
Un discorso molto diverso, e molto più complesso sono i casi nella storia della matematica in cui certi usi disinvolti e non rigorosi, e innovativi, della matematica sono stati fatti dai fisici, e funzionavano, per poi essere elaborati e giustificati dalla matematica (penso ovviamente al $delta$ di Dirac e alle distribuzioni). Sono casi, non esclusivi della fisica, in cui il non rigore è fecondo, e apre strade a concetti e teorie nuovi, solo in un secondo tempo resi rigorosi nelle nuove teorie.
Ne approfitto per dire la mia impressione.
Venendo da economia, ho potuto vedere un'altra applicazione della matematica, all'economia oltre che alla fisica; quest'ultima l' ho fatta pochissimo, ma un po' l'ho fatta per avere un'idea dell'uso degli infinitesimi in fisica e fare un confronto.
Quello che distingue la matematica applicata all'economia dalla matematica pura è il fatto che la matematica viene piegata a trovare significati economici, cioè a molte (non tutte) formule e manipolazioni viene attribuito una interpretazione economica, non solo formale, e a quello scopo spesso si procede con le manipolazioni matematiche, cioè si fanno quelle che fanno comodo per aver insight economici.
Una cosa simile mi sembra che si veda in fisica. Mi spiego.
Limitandosi al discorso degli infinitesimi, da un punto di vista formale/matematico l'esempio delle derivate che fa Cannone Speciale è identico a quello che ho spesso trovato in economia, uno short-cut per fare i passaggi, dietro di cui c'è il teorema delle funzioni implicite. Non credo quindi che qui, intendo nel calcolare in quel modo la derivata, ci sia qualcosa di specificamente fisico.
Detto questo, però, c'è in fisica, in quelle formule, un uso sostanziale degli infinitesimi che in economia non c'è.
Cioè i vari $dv, ds$ etc. in fisica vengono interpretati come 'quantità infinitamente piccole' (qualunque cosa questo significhi, ma pare che i fisici si capiscono). Perché è utile, è cosa buona e giusta dal punto di vista della fisica usare questa interpretazione.
Ma appunto, si tratta di una interpretazione fisica dei vari $dv, ds$, che si sovrappone al lato matematico, ma è distinto da questo.
Voglio dire, la matematica quella è, le formule e i passaggi quelli sono, nessun fisico verrà mai a dire che si è inventato qualcosa di nuovo matematicamente o fa qualcosa di insolito. Solo che poi la fisica fa un uso delle formule con $dv, ds$ etc., per così dire in più, vi si inserisce un lato non matematico, i significati fisici che risulta utile attribuirvi.
In sintesi, penso che bisogna distinguere il lato matematico dal lato dalla interpretazione fisica, mi sembrano due piani diversi.
E anche se si possono trovare giustificazioni matematiche ai $dv$ etc., come l'analisi non standard o le forme differenziali o quant'altro, secondo me lì , a quel livello almeno, non è necessario e non c'entra. E' un discorso diverso, lì basta, come poi dice dissonance, la visione fisica che si sovrappone e usa la matematica e la piega alle sue esigenze.
Un discorso molto diverso, e molto più complesso sono i casi nella storia della matematica in cui certi usi disinvolti e non rigorosi, e innovativi, della matematica sono stati fatti dai fisici, e funzionavano, per poi essere elaborati e giustificati dalla matematica (penso ovviamente al $delta$ di Dirac e alle distribuzioni). Sono casi, non esclusivi della fisica, in cui il non rigore è fecondo, e apre strade a concetti e teorie nuovi, solo in un secondo tempo resi rigorosi nelle nuove teorie.
Grazie a entrambi, questo problema dei differenziali dovrebbe essere risolto prima o poi mannaggia, io studio fisica, ma dopo aver studiato analisi non sopporto queste imprecisioni 
Ma no, io sono d'accordo con Gabriella, non sono imprecisioni, il "problema dei differenziali" non sarà mai "risolto". OK, a volte magari si potrebbe essere più rigorosi. Ma è nella natura delle cose che in fisica, in economia, nelle scienze ci saranno degli usi della matematica diversi da quelli della matematica pura. Sempre in quella discussione che ho linkato prima, facevo riferimento a questo post su Physics.SE:
https://physics.stackexchange.com/a/17688/3255
Questo post è molto semplice ma per me è stato illuminante.
https://physics.stackexchange.com/a/17688/3255
Questo post è molto semplice ma per me è stato illuminante.
Io vedo la fisica come un modello della realtà che segue delle regole stabilite dalle equazioni matematiche, se però la matematica che sta dietro alle equazioni non è rispettata o, come in questo caso, viene "inventata" senza però verificare che sia coerente con quella già presente, allora si potrebbero probabilmente ottenere dei risultati teorici non in accordo con la realtà. Per questo anche se sembra che l'utilizzo dei differenziali funzioni sempre io non riesco a darmi pace finché non riesco a capire come si può aggirarne l'uso per tornare alla usuale e confortante matematica.
@CannoneSpeciale
Hai provato con l'Analisi Non Standard?
Hai provato con l'Analisi Non Standard?
"Cannone Speciale":
Io vedo la fisica come un modello della realtà che segue delle regole stabilite dalle equazioni matematiche, se però la matematica che sta dietro alle equazioni non è rispettata o, come in questo caso, viene "inventata" senza però verificare che sia coerente con quella già presente, allora si potrebbero probabilmente ottenere dei risultati teorici non in accordo con la realtà. Per questo anche se sembra che l'utilizzo dei differenziali funzioni sempre io non riesco a darmi pace finché non riesco a capire come si può aggirarne l'uso per tornare alla usuale e confortante matematica.
Però, abbi pazienza, quello che abbiamo cercato di dirti, almeno io, ma mi pare anche dissonance, è il contrario: che non è vero che si tratta di matematica non rigorosa, nel senso di sbagliata o diversa da quellla che si fa in analisi.
Sì, caso mai usano procedimenti più alla sans façon e non rigorosi dal punto di vista pratico, ma appunto, sono espedienti pratici per fare passaggi, o forse per avere insight fisici, ma la base e i risultati sono gli stessi che se facessi i passaggi da matematico duro e puro. Cioè, i matematici sono più scoccianti, i fisici sono caso mai più faciloni, ma i risultati quelli sono.
Quindi non succede quello che tu temi, cioè che "allora si potrebbero probabilmente ottenere dei risultati teorici non in accordo con la realtà."
Ma ti pare che i fisici si mettono a usare una matematica sbagliata e a inventarsi cose, su due piedi?
E ti pare che su una matematica 'sbagliata' può fondarsi una materia in base alla quale, ad esempio, si costruiscono ponti e aereoplani, che a occhio e croce non dovrebbero cadere?[nota]Dovrebbe rassicurarti il fatto che la teoria fisica e matematica viene dopo i fatti osservati, e serve a spiegarli, non viene fatta a casaccio. Non è che prima della scoperta della legge della gravitazione universale e della caduta dei gravi ci si buttava dal sesto piano, e poi dopo, manuale di fisica in mano, non ci si buttava più. La teoria ha giustificato perché non ci si buttava.[/nota]
Questo per quello che so della fisica più basic.
Ma mi pare che sia così anche in settori più avanzati, non è che la matematica dei fisici sia un'altra cosa da quella dei matematici. Ad esempio, da quello che ho visto, la meccanica quantistica usa l'algebra degli operatori, che è una parte dell'analisi funzionale, e spesso corsi di meccanica quantistica sono a matematica, fatti da matematici (di sicuro era così alla Sapienza), e così i corsi di fisica matematica. Non so se farai corsi di fisica matematica, meccanica razionale, sistemi dinamici, ma lì vedrai matematica rigorosa come a matematica, mica i 'differenziali disinvolti' tipo $dv$ e simili come sopra.
Poi, se ci sono settori avanzati in cui si usa una matematica 'altra', cioè non riconosciuta dalla matematica ufficiale, eterodossa, non lo so, e sarebbe molto interessante saperlo se fosse così.
Quindi, direi di seguire i consigli di dissonance + il post di Fioravante Patrone, e aspettare di 'assuefarsi' alla fisica e al modo di fare dei fisici.
Ti ripeto, a proposito dei differenziali e delle derivate fatte nel modo descritto dal tuo post iniziale: è solo una scorciatoia per ricordarsi i passaggi, ma sotto c'è il teorema delle funzioni implicite. E perché non lo usano, dirai tu?
A fisica non so, forse considerano utile dal punto di fisico vista esporre così, ma sospetto che ci sia anche una motivazione come a economia: perché gli studenti, (e forse anche i professori
) non si ricordano il teorema delle funzioni implicite[nota]'Non se lo ricordano' è un eufemismo per dire, per gli studenti, che non lo sanno proprio.[/nota].A economia, quando vidi quel procedimento, alla fine chiesi perché si faceva tutta quella manfrina invece di usare direttamente le formule del teorema delle funzioni implicite, la risposta fu: "Se te lo ricordi, sì".
Quindi, abbi fede che in fisica non si fanno cose sbagliate e non si arriva per questo a conclusioni sbagliate.
Riflessioni sugli infinitesimi ne potrai fare quante vuoi dal punto di vista matematico, dagli infinitesimi in Leibnitz all'analisi non standard, ma è un'altra cosa.
Nel link a Stack Exchange citato da dissonance si dice proprio questo: la fisica parla di infinitesimi in un altro senso, che non è quello della matematica, è una interpretazione fisica sovrapposta, che è diversa ma non in contrasto con la matematica.
Scusa la lungaggine, ma non riguarda solo te, è un argomento tante volte dicusso e in cui mi è sembrato che ci fosse molta confusione e troppe pretese teoriche che non ci sono.
[nota]Tolto il discorso a cui accennavo prima, di storia della matematica, di usi non rigorosi della matematica, innovativi, fatti dai fisici, e poi sistematizzati dai matematici in nuove teorie.[/nota]
"dissonance":
Fioravante Patrone, un intervento che ti può interessare.
L'ho letto, grazie, anch'io ho avuto il mio momento di smarrimento, ma credo che continuerò con fisica per ora.
"axpgn":
@CannoneSpeciale
Hai provato con l'Analisi Non Standard?
Dopo queste questioni questa analisi non standard sta destando sempre di più il mio interesse, ma ora non posso cimentarmi in questo studio purtroppo.
@gabriella127
Forse non vi ho capiti del tutto, anche se in questo caso ho potuto usare il teorema di Dini non vuol dire che possa farlo sempre, il teorema di Dini ha delle ipotesi da soddisfare che in questo esercizio in realtà non erano soddisfatte per la funzione implicita V(T). Il teorema di Dini era applicabile in due intervalli separati, poi alla fine dato che la funzione implicita T(V) era invece definita anche in quel punto e supponendo che la funzione di partenza fosse regolare allora in quel punto le due funzioni implicite V(T) si collegavano.
Quindi non era neanche una immediata conseguenza del teorema di Dini. E' difficile mettermi il cuore in pace perché non mi sembra ovvio che il teorema di Dini sia applicabile in tutti quei casi.
Dove sta scritto che questi metodi non ortodossi siano giusti?
Anche la relatività galileiana era ritenuta corretta fino a che non si è mostrato il contrario. Quello che sto dicendo è estremizzato, non penso che ci sia una falla nella fisica, ma continuando così si potrebbe commettere lo stesso "errore" di galileo. Se mi si dimostrasse che il metodo dei differenziali è corretto e spiegabile rigorosamente in tutti i casi allora sarei soddisfatto, purtroppo forse per questo dovrei studiare l'analisi non standard.
Forse non vi ho capiti del tutto, anche se in questo caso ho potuto usare il teorema di Dini non vuol dire che possa farlo sempre, il teorema di Dini ha delle ipotesi da soddisfare che in questo esercizio in realtà non erano soddisfatte per la funzione implicita V(T). Il teorema di Dini era applicabile in due intervalli separati, poi alla fine dato che la funzione implicita T(V) era invece definita anche in quel punto e supponendo che la funzione di partenza fosse regolare allora in quel punto le due funzioni implicite V(T) si collegavano.
Quindi non era neanche una immediata conseguenza del teorema di Dini. E' difficile mettermi il cuore in pace perché non mi sembra ovvio che il teorema di Dini sia applicabile in tutti quei casi.
Dove sta scritto che questi metodi non ortodossi siano giusti?
Anche la relatività galileiana era ritenuta corretta fino a che non si è mostrato il contrario. Quello che sto dicendo è estremizzato, non penso che ci sia una falla nella fisica, ma continuando così si potrebbe commettere lo stesso "errore" di galileo. Se mi si dimostrasse che il metodo dei differenziali è corretto e spiegabile rigorosamente in tutti i casi allora sarei soddisfatto, purtroppo forse per questo dovrei studiare l'analisi non standard.
Capisco le tue perplessità, e non posso darti una risposta esauriente per tutti i casi, se è possibile o no l'uso del teorema del Dini. Certo, ci saranno casi in cui non è applicabile. Io guardavo all'esempio che hai riportato.
Non so se ho capito il discorso dei due intervalli, ma non è strano che si usi il teorema a 'pezzi', ad esempio non è che si può applicare il teorema alla circonferenza, però a pezzi sì, si può applicare separatamente al pezzo di sopra e al pezzo di sotto.
Quindi può darsi che sei in un caso simile. Certo, se proprio non è applicabile è strano, non so che si fa con i differenziali. Forse ci saranno altre giustificazioni.
Ma non è che si basano sull'analisi non standard... Che è senz'altro degna di interesse, ma non so quanto di immediata applicazione in questi passaggi. Anche perché il libro fondamentale che ha introdotto l'analisi non standard, di Abraham Robinson, Non-standard Analysis, è del 1966, e immagino che questi passaggi si facessero anche prima. Può anche essere interessante come giustificazione alternativa ex post, ma non credo che quella sia la motivazione originaria di quei passaggi.
E francamente continua a sembrarmi strano che si tratti di metodi non ortodossi, che possono portare a risultati diversi da quelli ortodossi o applicabili in casi in cui quelli ortodossi non sono applicabili, come se i fisici si fossero inventati una nuova matematica. Continuo a avere l'idea che siano metodi ortodossi, cammuffati da non ortodossi.
Se puoi portare degli esempi, sarebbe interessante, sperando caso mai che dia la sua opinione qualcuno più esperto di me di questi passaggi fisici.
Non so se ho capito il discorso dei due intervalli, ma non è strano che si usi il teorema a 'pezzi', ad esempio non è che si può applicare il teorema alla circonferenza, però a pezzi sì, si può applicare separatamente al pezzo di sopra e al pezzo di sotto.
Quindi può darsi che sei in un caso simile. Certo, se proprio non è applicabile è strano, non so che si fa con i differenziali. Forse ci saranno altre giustificazioni.
Ma non è che si basano sull'analisi non standard... Che è senz'altro degna di interesse, ma non so quanto di immediata applicazione in questi passaggi. Anche perché il libro fondamentale che ha introdotto l'analisi non standard, di Abraham Robinson, Non-standard Analysis, è del 1966, e immagino che questi passaggi si facessero anche prima. Può anche essere interessante come giustificazione alternativa ex post, ma non credo che quella sia la motivazione originaria di quei passaggi.
E francamente continua a sembrarmi strano che si tratti di metodi non ortodossi, che possono portare a risultati diversi da quelli ortodossi o applicabili in casi in cui quelli ortodossi non sono applicabili, come se i fisici si fossero inventati una nuova matematica. Continuo a avere l'idea che siano metodi ortodossi, cammuffati da non ortodossi.
Se puoi portare degli esempi, sarebbe interessante, sperando caso mai che dia la sua opinione qualcuno più esperto di me di questi passaggi fisici.
L'idea di farsi un'infarinatura di NSA sorge dal fatto che questa "nasce" proprio per "superare" il problema degli infinitesimi che è spesso difficile da digerire e questo, più del caso particolare in esame, mi sembrava l'interesse dell'OP.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"Cannone Speciale":
[quote="axpgn"]@CannoneSpeciale
Hai provato con l'Analisi Non Standard?
Dopo queste questioni questa analisi non standard sta destando sempre di più il mio interesse, ma ora non posso cimentarmi in questo studio purtroppo.[/quote]
Lascia pure stare, non serve a granché... Insomma, il gioco non vale candela.
"Cannone Speciale":
Io vedo la fisica come un modello della realtà che segue delle regole stabilite dalle equazioni matematiche [...]
Il "che" è riferito a modello, non a realtà, vero?
@gabry: In effetti quelli sono "pezzotti", il più delle volte basati sulla formula di Taylor e sul Teorema della Funzione Implicita.
Sì, non volevo dire che non è una cosa interessante e non volevo andare contro l'idea di conoscere la non standard analysis.
Ma continuo a pensare che non c'entra con il problema dei differenziali in fisica, perché lì le quantità infinitamente piccole sono usate in un senso fisico che non è quello matematico. Non è certo l'analisi non standard l'inizio della storia di quest'uso degli infinitesimi in fisica.
Che poi gli infinitesimi siano stati troppo bistrattati in passato, almeno teoricamente, sono d'accordo, e meritano una riflessione, e credo anche sia interessante valutare le problematiche sollevate da Cannone Speciale in questa ottica. Ma, diciamo, è un livello in più, ex post.
La cosa, solo apparentemente paradossale, è che l'analisi non standard è stata poi recepita, semplificandola dall'apparato logico, dalla didattica, che trova l'uso degli infinitesimi utile, e a dispetto delle sue difficoltà teoriche, è un concetto intuitivo.
Dico che non è paradossale, perché in realtà questo avveniva anche in passato, nell'800. Caso mai da un lato si diceva corna e peste degli infinitesimi, dall'altro si usavano all'università, ricordo che fu imposto a Cauchy, dall'università, di non espungerli dal suo Cours d'analyse.
Quindi non escludo affatto che una riformulazione in termini di infinitesmi nel senso della non standard analisys possa aiutare ad avere utili insight di questi procedimenti fisici. Diciamo che non lo so.
Ma continuo a pensare che non c'entra con il problema dei differenziali in fisica, perché lì le quantità infinitamente piccole sono usate in un senso fisico che non è quello matematico. Non è certo l'analisi non standard l'inizio della storia di quest'uso degli infinitesimi in fisica.
Che poi gli infinitesimi siano stati troppo bistrattati in passato, almeno teoricamente, sono d'accordo, e meritano una riflessione, e credo anche sia interessante valutare le problematiche sollevate da Cannone Speciale in questa ottica. Ma, diciamo, è un livello in più, ex post.
La cosa, solo apparentemente paradossale, è che l'analisi non standard è stata poi recepita, semplificandola dall'apparato logico, dalla didattica, che trova l'uso degli infinitesimi utile, e a dispetto delle sue difficoltà teoriche, è un concetto intuitivo.
Dico che non è paradossale, perché in realtà questo avveniva anche in passato, nell'800. Caso mai da un lato si diceva corna e peste degli infinitesimi, dall'altro si usavano all'università, ricordo che fu imposto a Cauchy, dall'università, di non espungerli dal suo Cours d'analyse.
Quindi non escludo affatto che una riformulazione in termini di infinitesmi nel senso della non standard analisys possa aiutare ad avere utili insight di questi procedimenti fisici. Diciamo che non lo so.
"gugo82":
Lascia pure stare, non serve a granché...
Ma forse gli può servire per togliersi di dosso il "fastidio" degli infinitesimi ...
Solo un'infarinatura, eh! Mica deve studiarsela tutta così l'analisi
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Ma forse gli può servire per togliersi di dosso il "fastidio" degli infinitesimi ...
Sono d'accordo. Perché dopo Weierstrass, che ha ammorbato generazioni di studenti con i suoi $epsilon-delta$
, gli infinitessimi sono diventati quasi tabù, ma poi di fatto in tante occasioni continuiamo a pensare intuitivamente in termini di infinitesimi. Con l'analisi non standard possiamo non sentirci in colpa .
"gabriella127":
Con l'analisi non standard possiamo non sentirci in colpa .
Beh, guardate che il merito di Weierstrass non è aver espunto gli infinitesimi, bensì aver chiarito cos'è l'Analisi Matematica: l'arte delle disuguaglianze.
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