Osservazioni su criterio di convergenza di Cauchy per le serie.

[galles90]

Buonasera,
sto studiando il capitolo sulle serie numeriche. Dopo aver introdotto il criterio di convergenza di Cauchy, detta la seguente osservazione :

Si è visto per le successioni che ai fini del limite non ha alcuna influenza l'alterazione di un numero finito di termini ed è invece importante il comportamento definitivo della successione. Applicando ciò alle successioni delle somme parziali di una serie, consegue che il carattere di una serie rimane invariato se si modifica, si aggiunge o si elimina un numero finito di termini; se la serie è convergente, la sua somma sarà tuttavia influenzata da tali alterazioni. Precisamente, si supponga che esistono $pi in mathbb{N}$ con $ pi ge 1$ e $p in mathbb{N}$ tali che le successioni $(a_n)_{n in mathbb{N}}$ e $(b_n)_{n in mathbb{N}}$ verificano la condizioni $a_n=b_{n+p}$ per ogni $n in mathbb{N}$ con $ n ge pi$, denotate con $s_n$ e $t_n$ le rispettive somme parziali,risulta

$s_n=s_{pi - 1} + sum_{k=pi}^n a_k=s_{pi - 1} + sum_{k=pi}^n b_{p+k}=s_{pi - 1} + sum_{h=p+pi}^{p+n} b_h=s_{pi - 1}+t_{p+n}-t_{p+pi-1}$

da ciò deriva che le due serie hanno lo stesso carattere " ecco la cosa che non riesco a vedere " cioè come posso dedurre che hanno lo stesso carattere.
Vi dico il mio ragionamento, per capire determinare il carattere di una serie, mi studio il comportamente delle successioni delle somme parziali. Quindi per confrantare il carattere di due serie, dovrei studiarne il comportamente delle loro successioni delle somme parziali, che in questo caso sono $s_n$ e $t_n$, quindi capire il comportamento di quest'ultime.
E' corretto il mio ragionamento ?


Cordiali saluti.

[anto_zoolander]

quello che intendi tu è un caso particolare della seguente 'cosa'

sia ${a_n}$ una successione di numeri reali

se $a_n->a$ allora $a_n-c -> a-c$

in altre parole $lim_(n->+infty)(a_n+c)=[lim_(n->+infty)a_n]+c$

questa è una proprietà caratteristica degli spazi normati $(V,||*||)$ che induce sullo spazio $V$ una metrica $d(v,w)=||v-w||$ con la proprietà che $d(v+u,w+u)=||v+u-w-u||=||v-w||=d(v,w)$

per la definizione di limite si ha che se ${v_n}$ è una successione di vettori in uno spazio normato $V$ convergente a un vettore $v$ allora la successione ${v_n+u}$ è anch'essa convergente ma a $v+u$ visto che

$d(v_n+u,v+u)=d(v_n,v)->0$

$RR$ con la funzione 'valore assoluto' diventa uno spazio normato in cui vale questa considerazione.

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prendiamo ora una successione del tipo ${s_n=sum_(n=0)^(N)a_n}$ essendo una successione di numeri reali vale la precedente osservazione e in particolare nota che per $p,q in NN,p
se $s_n->s$ allora $s_n - c -> s-c$ e posto $c=sum_(n=p)^(q)a_n$

$lim_(N->+infty)sum_(n=p+1)^(N)a_n=lim_(N->+infty)[sum_(n=0)^(N)a_n-sum_(n=0)^(p)a_n]=lim_(N->+infty)[sum_(n=0)^(N)a_n]-sum_(n=0)^(p)a_n$

questo si traduce in $sum_(n=p+1)^(+infty)a_n=sum_(n=0)^(+infty)a_n-sum_(n=0)^(p)a_n$

questo puoi applicarlo a una successione ${b_n}$ ottenuta da ${a_n}$ cambiando i primi $p$ termini e in cui $a_n -> a$ avrai che

$lim_(N->+infty)sum_(n=0)^(N)b_n=lim_(N->+infty)[sum_(n=0)^(N)a_n+underbrace(sum_(n=0)^(p)(b_n-a_n))_c]=$ applichi quanto visto prima

dunque $sum_(n=0)^(+infty)b_n=sum_(n=0)^(+infty)a_n+sum_(n=0)^(p)(b_n-a_n)$ e questa è la relazione che le lega sostanzialmente.

In poche parole significa 'modifichi i primi $p$ termini, prendi la serie di partenza e ne calcoli la somma, da questa gli togli i primi $p$ termini di quella originale e gli aggiungi i termini sostituiti'

per esempio prendi la serie geometrica di ragione $0<|q|<1$ avrai come somma $sum_(n=0)^(+infty)=1/(1-q)$ se ai primi termini ponendo $b_0=1, b_1=1,b_2=1$ la loro somma fa $3$ e mentre la somma dei primi tre termini della successione di partenza sono $1+q+q^2=(1-q^3)/(1-q)$ dunque alla fine dei conti la somma sarà

$1/(1-q)+3+(q^3-1)/(1-q)=q^3/(1-q)+3$

[galles90]

Ciao anto_zoolander,
ma io sto studiando le serie numeriche, sono solo all'inizio, cosa c'entrano i spazi normati ?

[anto_zoolander]

Allora cancella quella parte e considera solo che $|a_n-a|=|(a_n+c)-(a+c)|$
Tutto quello che segue rimane tale e quale.

[galles90]

Ciao anto_zoolander,
mi sono spaventato comunque la parte che non devo prendere in considerazione è

"anto_zoolander":

in altre parole $ lim_(n->+infty)(a_n+c)=[lim_(n->+infty)a_n]+c $

questa è una proprietà caratteristica degli spazi normati $ (V,||*||) $ che induce sullo spazio $ V $ una metrica $ d(v,w)=||v-w|| $ con la proprietà che $ d(v+u,w+u)=||v+u-w-u||=||v-w||=d(v,w) $

per la definizione di limite si ha che se $ {v_n} $ è una successione di vettori in uno spazio normato $ V $ convergente a un vettore $ v $ allora la successione $ {v_n+u} $ è anch'essa convergente ma a $ v+u $ visto che

$ d(v_n+u,v+u)=d(v_n,v)->0 $

$ RR $ con la funzione 'valore assoluto' diventa uno spazio normato in cui vale questa considerazione.

?

[anto_zoolander]

Esattamente, ora lo tratteggio per staccare le due cose.

Ti deve essere ben chiaro però che per ogni successione convergente $a_n->a$ implica che per ogni $c in RR, a_n+c->a+c$

[galles90]

Ciao,

si mi è tutto chiaro, spiegato te è ovvio !!
L'unica cosa che non ho capito, quando scrivi la relazione, quella che segue:

"anto_zoolander":

$ lim_(N->+infty)sum_(n=p+1)^(N)a_n=lim_(N->+infty)[sum_(n=0)^(N)a_n-sum_(n=0)^(p)a_n]=lim_(N->+infty)[sum_(n=0)^(N)a_n]-sum_(n=0)^(p)a_n $

come fai con gli indici.
Intuitivamente ci sono, ma algebricamente no.

Ciao