Osservabilità sistemi dinamici
Buongiorno, ho un dubbio che riguarda i sistemi dinamici.
Date le seguenti variabili e matrici:
$A in RR^(n xx n)$
$x(t) in RR^n$
$B in RR^(n xx m)$
$u in RR^m$
$C in RR^(1 xx n)$
$D in RR^(1 xx m)$
$y(t) in RR$
Il sistema lineare tempo invariante che ho menzionato pocanzi viene detto completamente osservabile se
Quello che mi chiedo è:
Dalle note di un professore leggo scritto che:
"determinare $x(0)$ implica determinare $x(t)$ per tutti i $t>0$"
Come mai? Perché? Non capisco quest'ultima affermazione in grassetto.
Date le seguenti variabili e matrici:
$A in RR^(n xx n)$
$x(t) in RR^n$
$B in RR^(n xx m)$
$u in RR^m$
$C in RR^(1 xx n)$
$D in RR^(1 xx m)$
$y(t) in RR$
Consideriamo un sistema lineare tempo invariante a tempo continuo
$dot(x)(t)=Ax(t)+Bu$
con variabile di misura $y(t)$ così definita
$y(t)= Cx(t) + Du$
$dot(x)(t)=Ax(t)+Bu$
con variabile di misura $y(t)$ così definita
$y(t)= Cx(t) + Du$
Il sistema lineare tempo invariante che ho menzionato pocanzi viene detto completamente osservabile se
$forall x(0) exists t>0 $ tale che è possibile determinare $x(0)$ misurando $y(tau)$ , $tau in [0,t]$
Quello che mi chiedo è:
Dalle note di un professore leggo scritto che:
"determinare $x(0)$ implica determinare $x(t)$ per tutti i $t>0$"
Come mai? Perché? Non capisco quest'ultima affermazione in grassetto.
Risposte
Teorema di esistenza ed unicità della soluzione per il problema di Cauchy $dot(mathbf(x)) = A mathbf(x) + B mathbf(u)$ con condizioni iniziali in $0$.
"gugo82":
Teorema di esistenza ed unicità della soluzione per il problema di Cauchy $dot(mathbf(x)) = A mathbf(x) + B mathbf(u)$ con condizioni iniziali in $0$.
Ma se io determino $x(0)$ (ovvero un vettore di $n$ valori reali) e non $x(t)$ (ovvero un vettore con $n$ funzioni del tempo) come faccio a sapere qual è $x(t)$?
"anonymous_be0efb":
[quote="gugo82"]Teorema di esistenza ed unicità della soluzione per il problema di Cauchy $dot(mathbf(x)) = A mathbf(x) + B mathbf(u)$ con condizioni iniziali in $0$.
Ma se io determino $x(0)$ (ovvero un vettore di $n$ valori reali) e non $x(t)$ (ovvero un vettore con $n$ funzioni del tempo) come faccio a sapere qual è $x(t)$?[/quote]
Esiste ed è unico. Tanto basta: l’hai determinato.
In altri termini, non è che sempre tutto si possa calcolare esplicitamente, perciò i teoremi di esistenza ed i teoremi di unicità sono così importanti.
P.S.: Dovresti scrollarti di dosso il nefasto modo di ragionare racchiuso nel famigerato Teorema di Esistenza dell'Ingegnere:
Se un oggetto lo so calcolare, allora esso esiste.
"gugo82":
[quote="anonymous_be0efb"]
Ma se io determino $x(0)$ (ovvero un vettore di $n$ valori reali) e non $x(t)$ (ovvero un vettore con $n$ funzioni del tempo) come faccio a sapere qual è $x(t)$?
Esiste ed è unico. Tanto basta: l’hai determinato.
In altri termini, non è che sempre tutto si possa calcolare esplicitamente
[/quote]
Allora sarebbe corretto dire che ho determinato che esiste. Non ho trovato ALCUN vettore $x(t)$.
Ho trovato la condizione iniziale $x(0)$, non ho trovato nessuna $x(t)$ !
Dire "Ho trovato $x(0) rArr$ Ho trovato $x(t)$" è falso!
O sbaglio?
"gugo82":
P.S.: Dovresti scrollarti di dosso il nefasto modo di ragionare racchiuso nel famigerato Teorema di Esistenza dell'Ingegnere:
Se un oggetto lo so calcolare, allora esso esiste.
Mai sentito questo Teorema, molto carino
"anonymous_be0efb":
[quote="gugo82"][quote="anonymous_be0efb"]
Ma se io determino $x(0)$ (ovvero un vettore di $n$ valori reali) e non $x(t)$ (ovvero un vettore con $n$ funzioni del tempo) come faccio a sapere qual è $x(t)$?
Esiste ed è unico. Tanto basta: l’hai determinato.
In altri termini, non è che sempre tutto si possa calcolare esplicitamente
[/quote]
Allora sarebbe corretto dire che ho determinato che esiste. Non ho trovato ALCUN vettore $x(t)$.
Ho trovato la condizione iniziale $x(0)$, non ho trovato nessuna $x(t)$ !
Dire "Ho trovato $x(0) rArr$ Ho trovato $x(t)$" è falso!
O sbaglio?[/quote]
Sbagli.
"anonymous_be0efb":
[quote="gugo82"]
P.S.: Dovresti scrollarti di dosso il nefasto modo di ragionare racchiuso nel famigerato Teorema di Esistenza dell'Ingegnere:
Se un oggetto lo so calcolare, allora esso esiste.
Mai sentito questo Teorema, molto carino
[/quote]Appunto... Scrollatelo di dosso, perché ce l'hai incosciamente sotto pelle.
"gugo82":
[quote="anonymous_be0efb"]
O sbaglio?
Sbagli.
[/quote]
Perché???
Posso rispondere con una domanda, tanto per fare un esempio...
Sai risolvere l'equazione $e^x + x = 0$?
Che cosa vuol dire "risolvere l'equazione $e^x + x = 0$"?
Sai risolvere l'equazione $e^x + x = 0$?
Che cosa vuol dire "risolvere l'equazione $e^x + x = 0$"?
"gugo82":
Posso rispondere con una domanda, tanto per fare un esempio...
Sai risolvere l'equazione $e^x + x = 0$?
Che cosa vuol dire "risolvere l'equazione $e^x + x = 0$"?
$x= ln(-x)$
Considero i numeri reali per semplicità:
Risolvere l'equazione vuol dire trovare tutte le $x$ che soddisfano la seguente proprietà:
il valore della $x$ è uguale al logaritmo naturale del suo opposto.
il valore della $x$ è uguale al logaritmo naturale del suo opposto.
A mano non la so risolvere, ci saranno sicuramente algoritmi e metodi di calcolo numerico adatti a risolverla.
Insomma, vuol dire trovare i valori, trovare i candidati.
"anonymous_be0efb":
[quote="gugo82"]Posso rispondere con una domanda, tanto per fare un esempio...
Sai risolvere l'equazione $e^x + x = 0$?
Che cosa vuol dire "risolvere l'equazione $e^x + x = 0$"?
$x= ln(-x)$
Considero i numeri reali per semplicità:
Risolvere l'equazione vuol dire trovare tutte le $x$ che soddisfano la seguente proprietà:
il valore della $x$ è uguale al logaritmo naturale del suo opposto.
il valore della $x$ è uguale al logaritmo naturale del suo opposto.
[...] Insomma, vuol dire trovare i valori, trovare i candidati.[/quote]
E che vuol dire "trovare i valori"?
"anonymous_be0efb":
A mano non la so risolvere, ci saranno sicuramente algoritmi e metodi di calcolo numerico adatti a risolverla.
Dovresti ben sapere che gli "algoritmi e metodi del calcolo numerico" forniscono, in generale, approssimazioni... Sei proprio sicura che forniscano, in generale, delle soluzioni nel senso in cui intendi più sopra?
P.S.: Sì, non l'ho detto esplicitamente, ma anch'io mi riferivo al caso reale.
"gugo82":
[quote="anonymous_be0efb"]
[...] Insomma, vuol dire trovare i valori, trovare i candidati.
E che vuol dire "trovare i valori"?[/quote]
Trovare i numeri reali che hanno tale proprietà!
Bella risposta... Meditata, non c'è che dire. 
Cosa vuol dire "trovare"?
Fai un esempio.
Cosa vuol dire "trovare"?
Fai un esempio.
"gugo82":
Bella risposta... Meditata, non c'è che dire.
Cosa vuol dire "trovare"?
Fai un esempio.
$x^2= 4$
Quali sono quei numeri che, elevati al quadrato, restituiscono 4?
Sono $x_1=2$ e $x_2=-2$
Per "trovarli" ho riportato l'equazione nella forma
$x=a$
con $a in RR$
Ho riportato l'equazione in questa forma grazie alla radice quadrata.
Questo vuol dire trovare il valore, riportare l'equazione nella forma
"incognita $x$ = numero $a$ "
"anonymous_be0efb":
[quote="gugo82"]Bella risposta... Meditata, non c'è che dire.
Cosa vuol dire "trovare"?
Fai un esempio.
$x^2= 4$
Quali sono quei numeri che, elevati al quadrato, restituiscono 4?
Sono $x_1=2$ e $x_2=-2$
Per "trovarli" ho riportato l'equazione nella forma
$x=a$
con $a in RR$
Ho riportato l'equazione in questa forma grazie alla radice quadrata.
Questo vuol dire trovare il valore, riportare l'equazione nella forma
"incognita $x$ = numero $a$ "[/quote]
Oh, bene… Ma questo non è propriamente rappresentativo di ciò che significa in Matematica “risolvere un’equazione”; è solo un’istanza elementare del Teorema di esistenza dell’Ingegnere sul quale, purtroppo, si basa gran parte dell’insegnamento della Matematica a livello scolare (per quanto ne so, fortunatamente, non universitario, almeno non dalle mie parti e non nei miei corsi).
Quello che tu intendi con:
“trovare tutti i numeri reali tali che…”
è ciò che si esprime, in un linguaggio matematicamente corretto che non ricordi quello di un alunno delle medie, è:
“calcolare le soluzioni sfruttando una formula di rappresentazione”;
formula che -a sua volta- è basata su un teorema di esistenza ed unicità, che in questo caso è:
Per ogni numero reale $a >= 0$ esiste un unico numero reale $b >= 0$ tale che $b^2 = a$
il quale consente di definire la funzione $sqrt(*)$ e di stabilire la formula di rappresentazione $x = +- sqrt(a)$ per le soluzioni della tua equazione (o,più in generale, $x = (-b +- sqrt(b^2 - 4 ac))/(2a)$ per l’equazione di secondo grado completa $ax^2 + bx + c = 0$).
Ti avevo chiesto di specificare cosa intendessi usando come esempio l’equazione $e^x + x = 0$ proprio per evitare che il ricorso a formulette preconfezionate potesse influenzare il tuo ragionamento sul problema, ed invece…
Risolvere un’equazione (o, più in generale, un problema) significa innanzitutto:
- [*:14m6jg27] dare un teorema di esistenza della soluzione[/*:m:14m6jg27][/list:u:14m6jg27]
(altrimenti, anche con gli “algoritmi ed i metodi del calcolo numerico” potresti non trovare nulla!), in subordine significa:
- [*:14m6jg27] dare un teorema di unicità delle soluzioni[/*:m:14m6jg27][/list:u:14m6jg27]
(perché se non c’è l’hai, gli “algoritmi e metodi del calcolo numerico” potrebbero fornirti soluzioni approssimate inaspettate) e, alla fine dei conti, ancora più in subordine, significa:
- [*:14m6jg27] dare una formula di rappresentazione esplicita delle soluzioni (in funzione dei dati)[/*:m:14m6jg27][/list:u:14m6jg27]
(con la quale fare i conti “a mano”).
Chiaramente, se ti riesce l’ultima cosa, le altre due vengono di conseguenza (e questo è il succo Teorema dell’Ingegnere che citavo prima); ma quella roba lì non riesce se non in casi “semplici”e, per farla riuscire in casi non semplici ma di tutti i giorni, sono state introdotte funzioni come il seno ed il coseno, il logaritmo e l’esponenziale, o -in tempi più o meno recenti- varie funzioni speciali (tipo la $W$ di Lambert che i software di calcolo simbolico usano per rappresentare la soluzione di $e^x + x = 0$).
Tuttavia, nei casi in cui il terzo step non funziona, che si fa?
Si butta a mare il problema dicendo “Boh, che ne so!”?
No, questo i matematici non lo fanno.
Ed è meglio così, altrimenti gli ingegneri non saprebbero se i loro calcoli servono a qualcosa o meno.
"gugo82":
Risolvere un’equazione (o, più in generale, un problema) significa innanzitutto:
[*:2se4mgtv] dare un teorema di esistenza della soluzione[/*:m:2se4mgtv][/list:u:2se4mgtv]
(altrimenti, anche con gli “algoritmi ed i metodi del calcolo numerico” potresti non trovare nulla!), in subordine significa:
[*:2se4mgtv] dare un teorema di unicità delle soluzioni[/*:m:2se4mgtv][/list:u:2se4mgtv]
(perché se non c’è l’hai, gli “algoritmi e metodi del calcolo numerico” potrebbero fornirti soluzioni approssimate inaspettate) e, alla fine dei conti, ancora più in subordine, significa:
[*:2se4mgtv] dare una formula di rappresentazione esplicita delle soluzioni (in funzione dei dati)[/*:m:2se4mgtv][/list:u:2se4mgtv]
(con la quale fare i conti “a mano”).
Chiaramente, se ti riesce l’ultima cosa, le altre due vengono di conseguenza (e questo è il succo Teorema dell’Ingegnere che citavo prima); ma quella roba lì non riesce se non in casi “semplici”e, per farla riuscire in casi non semplici ma di tutti i giorni, sono state introdotte funzioni come il seno ed il coseno, il logaritmo e l’esponenziale, o -in tempi più o meno recenti- varie funzioni speciali (tipo la $W$ di Lambert che i software di calcolo simbolico usano per rappresentare la soluzione di $e^x + x = 0$).
Ti ringrazio per la rinfrescata. Ammetto che ne avevo bisogno.
Tornando al problema iniziale, se io determino $x(0)$, ho dunque risolto i primi due step. Ovvero, so che la soluzione $x(t)$ esiste ed è unica. Tuttavia non so esprimere $x(t)$ (il vettore di $n$ funzioni che chiamo $x(t)$).
E' giusto?
"anonymous_be0efb":
Ti ringrazio per la rinfrescata. Ammetto che ne avevo bisogno.
Prego.
"anonymous_be0efb":
Tornando al problema iniziale, se io determino $x(0)$, ho dunque risolto i primi due step. Ovvero, so che la soluzione $x(t)$ esiste ed è unica.
Quindi il problema è risolto.
"anonymous_be0efb":
Tuttavia non so esprimere $x(t)$ (il vettore di $n$ funzioni che chiamo $x(t)$).
E' giusto?
Per le EDO lineari del primo ordine è sempre possibile scrivere una formula di rappresentazione delle soluzioni, quindi...
"gugo82":
[quote="anonymous_be0efb"]Ti ringrazio per la rinfrescata. Ammetto che ne avevo bisogno.
Prego.
"anonymous_be0efb":
Tornando al problema iniziale, se io determino $x(0)$, ho dunque risolto i primi due step. Ovvero, so che la soluzione $x(t)$ esiste ed è unica.
Quindi il problema è risolto.
"anonymous_be0efb":
Tuttavia non so esprimere $x(t)$ (il vettore di $n$ funzioni che chiamo $x(t)$).
E' giusto?
Per le EDO lineari del primo ordine è sempre possibile scrivere una formula di rappresentazione delle soluzioni, quindi...[/quote]
Avendo trovato $x(0)$ grazie ad $y$ ed avendo la EDO effettivamente posso scrivere $x(t)$
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