Ortogonalità funzioni di hermite

[andrea.corzino]

Salve!!

Devo dimostrare l'ortogonalità delle funzioni di hermite per via grafica/geometrica (ovvero ragionando sulla parità/disparità di queste) ,dove per funzioni di hermite il mio libro intende una funzione della seguente forma:
$ Psi_n(x)=N_n e^(-(alphax^2)/2)H_n(sqrtalphax) $

Ora l'ortogonalità di una funzione a valori continui le definisco attraverso la seguente espressione:
$ int_(-oo )^(+oo)Psi_iPsi_j dx =0 $
Ad esempio se $ i=0,j=1 $ devo dimostrare che:
$ int_(-oo)^(+oo)Psi_0Psi_1 dx =0 $

Ora so che:
1) la funzione gaussiana $ e^(-(alphax^2)/2) $ è una funzione PARI
2) il polinomio di hermite $ H_n $ di grado $ n $ è PARI se $ n $ è un numero pari, DISPARI in caso contrario.
3) il fattore $ N_n $ è una costante e posso quindi trascurarlo


Perciò considerando tutto ciò ho che:

a) $ Psi_0 $ è pari in quanto è il prodotto di due funzioni pari
b) $ Psi_1 $ è dispari in quanto è il prodotto di una funzione pari per il polinomio di hermite di grado "1"
Perciò $ Psi_0Psi_1 $ è una funzione dispari e di conseguenza il suo integrale su un suo intervallo simmetrico è NULLO.

MA ORA MI CHIEDO: Se avessi considerato invece
$ int_(-oo)^(+oo)Psi_2Psi_4 dx $ $ Psi_2Psi_4 $

come mi sarei dovuto comportare per dimostrare la loro ortogonalità???
Perchè so dalla teoria che se le due funzioni hanno un pedice diverso,cioè $ i!= j $ allora esse sono per forza ortogonali!!

Ma non riuscirei a dimostrarlo seguendo il semplice ragionamento delle funzione Dispari/Pari o sbaglio?? (in quanto mi verrebbe funzione pari per funzione pari)

GRAZIE