Orientazione bordo di una superficie
Salve, l'esercizio mi chiede di verificare il Teorema di Stokes , valutando i due membri indipendentemente.
Testo: Si consideri la superficie descritta da:
$z=x^2+y^2$ per $x^2+y^2<=R^2,x>=0,y>=0$
ed il campo vettoriale:
$F(x,y,z)=(1,0,y)$
i) Calcolare il flusso di rotF attraverso la superficie orientata verso l'alto
ii) Calcolare la circuitazione di F lungo il bordo della superficie (positivamente orientato)
i) Applicando la definizione di integrale di superficie ho che:
$ int int rotul(F)@ ul(n)dS =-2/3R^3$
ii) Tuttavia, quando calcolo la circuitazione del Campo F , trovo lo stesso risultato ma col segno opposto:
$ oint_(partial^+Sigma) ul(F)@ dul(r) =2/3R^3$
Non capisco dov'è che sbaglio nel calcolo della circuitazione
Mio svolgimento:
$r_1(t)=(t,0,t^2)$ con $t in[R,0]$
$r_1'(t)=(1,0,2t)$
$r_2(t)=(Rcost,Rsint,R^2)$ con $t in [pi/2,0]$
$r_2'(t)=(-Rsint,Rcost,0)$
$r_3(t)=(0,t,t^2)$ con $t in [0,R]$
$r_3'(t)=(0,1,2t)$
$F_1=(1,0,0)$
$F_2=(1,0,Rsint)$
$F_3=(1,0,t)$
$ int_(gamma_1) F_1@ dr = int_(R)^(0) (1,0,0) @ (1,0,2t) dt=-R $
$ int_(gamma_2) F_2@ dr = int_(pi/2)^(0) (1,0,Rsint) @ (-Rsint,Rcost,0) dt=-R[-cost]=-R(-cos0)=R $
$ int_(gamma_3) F_3@ dr = int_(0)^(R) (1,0,t) @ (0,1,2t) dt=2 int_(0)_(R)t^2dt=2/3R^3 $
da cui: $I=-R+R+2/3R^3=2/3R^3$
Testo: Si consideri la superficie descritta da:
$z=x^2+y^2$ per $x^2+y^2<=R^2,x>=0,y>=0$
ed il campo vettoriale:
$F(x,y,z)=(1,0,y)$
i) Calcolare il flusso di rotF attraverso la superficie orientata verso l'alto
ii) Calcolare la circuitazione di F lungo il bordo della superficie (positivamente orientato)
i) Applicando la definizione di integrale di superficie ho che:
$ int int rotul(F)@ ul(n)dS =-2/3R^3$
ii) Tuttavia, quando calcolo la circuitazione del Campo F , trovo lo stesso risultato ma col segno opposto:
$ oint_(partial^+Sigma) ul(F)@ dul(r) =2/3R^3$
Non capisco dov'è che sbaglio nel calcolo della circuitazione
Mio svolgimento:
$r_1(t)=(t,0,t^2)$ con $t in[R,0]$
$r_1'(t)=(1,0,2t)$
$r_2(t)=(Rcost,Rsint,R^2)$ con $t in [pi/2,0]$
$r_2'(t)=(-Rsint,Rcost,0)$
$r_3(t)=(0,t,t^2)$ con $t in [0,R]$
$r_3'(t)=(0,1,2t)$
$F_1=(1,0,0)$
$F_2=(1,0,Rsint)$
$F_3=(1,0,t)$
$ int_(gamma_1) F_1@ dr = int_(R)^(0) (1,0,0) @ (1,0,2t) dt=-R $
$ int_(gamma_2) F_2@ dr = int_(pi/2)^(0) (1,0,Rsint) @ (-Rsint,Rcost,0) dt=-R[-cost]=-R(-cos0)=R $
$ int_(gamma_3) F_3@ dr = int_(0)^(R) (1,0,t) @ (0,1,2t) dt=2 int_(0)_(R)t^2dt=2/3R^3 $
da cui: $I=-R+R+2/3R^3=2/3R^3$
Risposte
"CallistoBello":
[quote="Quinzio"]
Mi puoi dire se a questo punto ti e' chiaro cosa vuol dire "punta verso l'alto", sia da un punto di vista intuitivo che formale ?
Si, un vettore con terza componente positiva.
"pilloeffe":
Ad onor del vero però anche il libro ci ha messo del suo, perché ha creato ambiguità con quel "verso l'alto" che era inteso in assoluto e non relativamente alla superficie ed al percorso sul suo contorno (regola della mano destra)
Quindi allo scritto di analisi dovrei chiedere al prof se il "verso l'alto" va interpretato:
- in senso assoluto = normale con terza componente positiva
oppure
- relativamente alla superficie ed al suo bordo = regola della mano dx
Grazie mille ad entrambi
[/quote]Ascolta, per quanto mi concerne puoi ascoltare chi vuoi e chiedere a chi vuoi, durante l'esame e non.
A me piacerebbe che tu avessi le idee piu' chiare perche' per adesso vedo tanta confusione.
1)
"Verso l'alto" significa che la terzo componente $z$, e' maggiore di zero.
Oppure, in modo equivalente, che la proiezione del versore sull'asse $z$ e' orientata come l'asse $z$. E' la stessa cosa.
2)
La regola della mano destra non ti serve in questo caso.
La regola della mano destra fa in modo che il verso di circolazione sul bordo e il versore sulla superficie siano concordi, coerenti.
La regola della mano destra non decide se il versore e' orientato verso il basso o verso l'alto.
Se prendi una circonferenza $x^2+y^2 = 1$ e la percorri in senso antiorario, il versore punta verso l'alto.
Se prendi una circonferenza $x^2+y^2 = 1$ e la percorri in senso orario, il versore punta verso il basso.
In tutti e due i modi la regola della mano destra e' rispettata, ma, come vedi, non decide l'orientamento del versore.
3)
Quando parli/parlate di verso uscente/entrante, mi spiegate uscente da cosa ?
Uscente/entrante si puo' usare solo se la superficie e' CHIUSA.
Una sfera e' una superficie CHIUSA.
Un elissoide e' una superficie CHIUSA.
Un toro, un toroide, e' una superficie CHIUSA.
Un paraboloide NON e' una superficie chiusa.
Un piano NON e' una superficie chiusa.
Un cono NON e' una superficie chiusa.
La tua superficie, che e' un pezzo di paraboloide, NON E' CHIUSA, e non puoi parlare di verso entrante e uscente.
Si entra dentro una superficie chiusa, si esce fuori da una superficie chiusa.
Da Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Classific ... ici_chiuse
Superfici chiuse
Una superficie regolare, o regolare a tratti, si definisce chiusa se risulta priva di bordo. La chiusura di una superficie è strettamente legata al concetto di orientabilità: una superficie chiusa ha sempre due facce distinte e risulta impossibile passare dall'una all'altra se non si attraversa la superficie stessa. Un esempio plausibile di superficie chiusa, e per di più orientabile, è la sfera, nella quale è impossibile passare dalla faccia esterna (guscio sferico) a quella interna se non attraverso di essa.
Sei convinto che la tua superficie non e' chiusa ?
Ha il bordo ? Si, non hai parlato di altro. Quindi non e' chiusa.
Ciao Quinzio,
Siamo d'accordo che la superficie è un paraboloide e non è chiusa, ma a parte che si può tranquillamente pensare di chiuderla con un "tappo", rendendo così del tutto evidente cosa significhi normale entrante e normale uscente, in realtà non è neanche necessario: possiamo assimilare il paraboloide ad un bicchiere, immaginando che nel punto $O(0,0,0) $ sia concentrata una massa tale da tenerlo in equilibrio sul piano del tavolo (il quale a sua volta eserciterà una reazione vincolare in $O(0,0,0) $ con normale "entrante" nel bicchiere). Per me è del tutto intuitivo cosa significhi normale "entrante" nel bicchiere e normale "uscente" dal bicchiere attraverso la sua superficie: per la normale "entrante" basta pensare alla pressione esercitata dalle mani di colui che lo solleva, per la normale "uscente" alla pressione esercitata dal fluido contenuto nel bicchiere.
Perché? Pensando al caso tridimensionale per fare un altro esempio, non posso entrare ed uscire da una stanza anche se questa non ha la porta? Anche in questo caso non è del tutto intuitivo cosa possa significare normale "entrante" e normale "uscente" dalla stanza attraverso la sua superficie?
Più complicato potrebbe essere distinguere normale "entrante" ed "uscente" nel caso bidimensionale della parabola $y = x^2 $ che ho citato, ma a parte che anche in questo caso si può pensare ad un "tappo" che "chiuda" la parabola ad una certa altezza $y = h $, per intendersi per me la normale "entrante" è quella che punta verso i punti del piano $y > x^2 $, la normale "uscente" quella che punta verso i punti del piano $y < x^2 $
Per tornare al caso del paraboloide di cui all'esercizio proposto, per me la normale "entrante" è quella che punta verso i punti dello spazio $z > x^2 + y^2$, la normale "uscente" quella che punta verso i punti dello spazio $z < x^2 + y^2$
Siamo d'accordo che la superficie è un paraboloide e non è chiusa, ma a parte che si può tranquillamente pensare di chiuderla con un "tappo", rendendo così del tutto evidente cosa significhi normale entrante e normale uscente, in realtà non è neanche necessario: possiamo assimilare il paraboloide ad un bicchiere, immaginando che nel punto $O(0,0,0) $ sia concentrata una massa tale da tenerlo in equilibrio sul piano del tavolo (il quale a sua volta eserciterà una reazione vincolare in $O(0,0,0) $ con normale "entrante" nel bicchiere). Per me è del tutto intuitivo cosa significhi normale "entrante" nel bicchiere e normale "uscente" dal bicchiere attraverso la sua superficie: per la normale "entrante" basta pensare alla pressione esercitata dalle mani di colui che lo solleva, per la normale "uscente" alla pressione esercitata dal fluido contenuto nel bicchiere.
"Quinzio":
Si entra dentro una superficie chiusa, si esce fuori da una superficie chiusa.
Perché? Pensando al caso tridimensionale per fare un altro esempio, non posso entrare ed uscire da una stanza anche se questa non ha la porta? Anche in questo caso non è del tutto intuitivo cosa possa significare normale "entrante" e normale "uscente" dalla stanza attraverso la sua superficie?
Più complicato potrebbe essere distinguere normale "entrante" ed "uscente" nel caso bidimensionale della parabola $y = x^2 $ che ho citato, ma a parte che anche in questo caso si può pensare ad un "tappo" che "chiuda" la parabola ad una certa altezza $y = h $, per intendersi per me la normale "entrante" è quella che punta verso i punti del piano $y > x^2 $, la normale "uscente" quella che punta verso i punti del piano $y < x^2 $
Per tornare al caso del paraboloide di cui all'esercizio proposto, per me la normale "entrante" è quella che punta verso i punti dello spazio $z > x^2 + y^2$, la normale "uscente" quella che punta verso i punti dello spazio $z < x^2 + y^2$
"Quinzio":
1)
"Verso l'alto" significa che la terzo componente z, e' maggiore di zero.
Oppure, in modo equivalente, che la proiezione del versore sull'asse z e' orientata come l'asse z. E' la stessa cosa.
Mi è chiaro
"Quinzio":
2)
La regola della mano destra non ti serve in questo caso.
La regola della mano destra fa in modo che il verso di circolazione sul bordo e il versore sulla superficie siano concordi, coerenti.
La regola della mano destra non decide se il versore e' orientato verso il basso o verso l'alto.
Se prendi una circonferenza x2+y2=1 e la percorri in senso antiorario, il versore punta verso l'alto.
Se prendi una circonferenza x2+y2=1 e la percorri in senso orario, il versore punta verso il basso.
In tutti e due i modi la regola della mano destra e' rispettata, ma, come vedi, non decide l'orientamento del versore.
Chiaro, il verso del versore normale lo si evince dal testo dell'esercizio
Ed invece il verso di percorrenza del bordo ci è dato
o dalla regola della mano destra
oppure seguendo la regola generale per cui
<< percorrendo il bordo della superficie , si lascino i punti di $Sigma$ alla sinistra della curva >>
"Quinzio":
3)
Quando parli/parlate di verso uscente/entrante, mi spiegate uscente da cosa ?
Uscente/entrante si puo' usare solo se la superficie e' CHIUSA.
Una sfera e' una superficie CHIUSA.
Un elissoide e' una superficie CHIUSA.
Un toro, un toroide, e' una superficie CHIUSA.
Un paraboloide NON e' una superficie chiusa.
Un piano NON e' una superficie chiusa.
Un cono NON e' una superficie chiusa.
La tua superficie, che e' un pezzo di paraboloide, NON E' CHIUSA, e non puoi parlare di verso entrante e uscente.
Si entra dentro una superficie chiusa, si esce fuori da una superficie chiusa.
Si , sono consapevole che "formalmente" non è corretto dire che quella normale sia entrante nel "pezzo di paraboloide" perché è una superficie aperta .
Ciò detto , non ho capito se lei è d'accordo o meno con:
"pilloeffe":
Scenario B: ha ragione il libro ed è errato il primo disegno che hai postato. Ti faccio notare che se avessi postato subito il secondo disegno, quello del libro, non ci sarebbero stati dubbi. Ad onor del vero però anche il libro ci ha messo del suo, perché ha creato ambiguità con quel "verso l'alto" che era inteso in assoluto e non relativamente alla superficie ed al percorso sul suo contorno (regola della mano destra): se avesse scritto subito normale entrante nella superficie non ci sarebbero stati dubbi. Credo però che comunque la discussione sia stata proficua, innanzitutto perché ti ha consentito di comprendere la questione nel dettaglio, poi perché ti ha consentito di comprendere cosa intendeva il testo con la richiesta di cui alla lettera a.
Cioè, da quel che ho capito, l'unica possibilità affinché il versore normale sia orientato "verso l'alto" è che:
"abbia come punto di applicazione , i punti della 'facciata di superficie interna" al paraboloide"
(impropriamente "normale interna").
Dato questo verso della normale, per la regola della mano dx o per la regola generale ,
il bordo della superficie $Sigma$ è orientato in senso orario.
"CallistoBello":
Ciò detto , non ho capito se lei è d'accordo o meno con:
[quote="pilloeffe"]Scenario B: ha ragione il libro ed è errato il primo disegno che hai postato. Ti faccio notare che se avessi postato subito il secondo disegno, quello del libro, non ci sarebbero stati dubbi. Ad onor del vero però anche il libro ci ha messo del suo, perché ha creato ambiguità con quel "verso l'alto" che era inteso in assoluto e non relativamente alla superficie ed al percorso sul suo contorno (regola della mano destra): se avesse scritto subito normale entrante nella superficie non ci sarebbero stati dubbi. Credo però che comunque la discussione sia stata proficua, innanzitutto perché ti ha consentito di comprendere la questione nel dettaglio, poi perché ti ha consentito di comprendere cosa intendeva il testo con la richiesta di cui alla lettera a.
[/quote]
Non sono d'accordo. Ma non e' questione di essere d'accordo, ci sono regole e definizioni che vanno rispettate.
Il libro non ha creato nessuna ambiguita', anzi ha agito correttamente e ha definito il versore come quello "che punta verso l'alto", intendendo con questa frase "il versore che ha coordinata $z$ positiva".
Forse la frase "punta verso l'alto" non e' il massimo della formalita', hanno scritto cosi' perche' il 99,999% dei professori e degli studenti immagina il piano $xy$ come orizzontale e l'asse $z$ che punta in alto. Ma in realta' in una terna euclidea $xyz$ non c'e' un alto e un basso. Forse questa e' l'unica pecca del libro.
Ribadisco: una superficie non chiusa, non ha una orientazione naturale e va stabilita per convenzione come ha fatto il libro.
Invece con una superficie chiusa la convenzione e' universale e cioe' il versore punta "fuori" "all'esterno" della superficie chiusa.
Se ci pensi e' la cosa piu' naturale da fare. Se prendi una palla e gli attacchi una piccola bandierina sulla superficie esterna (l'unica su cui puoi attaccarla, non puoi aprire la palla in due), quello e' il verso convenzionale del versore.
Ma anche questa e' solo una convenzione, si poteva scegliere di farlo puntare verso l'interno. E' stato scelto il verso uscente e tutti si adeguano.
Questo solo per le superfici chiuse.
Per quelle non chiuse questo discorso non vale.
Se prendi un foglio di carta bianco da stampante, mi sai dire qual e' il verso uscente ? Non puoi, sono uguali, ed e' una superficie aperta. Se poi su una delle due facce mi scrivi una X, allora le due facce non sono piu' uguali.
A questo punto puoi dire che la faccia con la X e' quella del verso uscente, ma e' una tua convenzione e nulla piu'.
Cioè, da quel che ho capito, l'unica possibilità affinché il versore normale sia orientato "verso l'alto" è che:
"abbia come punto di applicazione , i punti della 'facciata di superficie interna" al paraboloide"
(impropriamente "normale interna").
Io capisco cosa vuoi dire in modo informale, ma non e' il modo corretto di esprimersi in matematica.
Non c'e' una superficie interna e una esterna, perche' non e' una superficie chiusa !
Tu dici cosi' perche' nella tua mente immagini il paraboloide come una tazza (e non e' sbagliato) e quindi sai intuitivamente che c'e' una parte interna (che raccoglie un liquido) e una parte esterna, ma questo non e' corretto dal punto di vista matematico.
Se consideriamo il paraboloide $z = -x^2 - y^2$ (che sarebbe la tazza rovesciata) e ti dico che il versore punta verso l'alto, vedi
che si fa gia' confusione, perche' il versore non e' piu sulla parte che tu chiami interna.
Se consideri l'iperboloide $z = x^2 - y^2$, qual e' la superficie interna ? Boh, non si sa.
Per questo hai bisogno di una definizione univoca che sarebbe quella del versore che punta verso l'alto.
Dato questo verso della normale, per la regola della mano dx o per la regola generale ,
il bordo della superficie $Sigma$ è orientato in senso orario.
Si questo va bene. Una volta stabilito da che parte e' il versore, il verso del bordo e' stabilito cosi'.
A me piace di piu' la versione che si percorre il bordo in modo che il versore sia a sinistra, ma vanno bene tutte e due.
"Quinzio":
Io capisco cosa vuoi dire in modo informale, ma non e' il modo corretto di esprimersi in matematica.
Non c'e' una superficie interna e una esterna, perche' non e' una superficie chiusa !
E' che preso così com'è il "verso l'alto" non mi è molto utile dal punto di vista "operativo".
Penso sarebbe più utile adottare la convenzione per cui:
$ul(n)$ deve avere verso tale che:
<< per ogni punto della superficie , il versore che giace sulla direzione della "retta perpendicolare al piano tangente alla superficie passante per quel punto" (direzione normale) ha terza componente positiva rispetto ad un sistema di riferimento $ul(i)-ul(j)-ul(k)$ di origine quel punto della superficie >>
Questo mi porterebbe ad una giusta "immagine mentale" del vettore $ul(n)$, senza 'fantasticare' sulla possibilità che una superficie aperta abbia "una faccia interna" ed "una faccia esterna" (idea dettata dal senso comune)
"CallistoBello":
E' che preso così com'è il "verso l'alto" non mi è molto utile dal punto di vista "operativo".
Ribadisco che magari questo potrebbe anche averti tratto in inganno, ma nel momento in cui il libro ti propone il percorso di cui alla Fig. 6.10 (che però è comparsa solo nel tuo quinto post di questo thread...), a quel punto per la regola della mano destra non avresti dovuto avere dubbi sul verso della normale...
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