Orientazione bordo di una superficie
Salve, l'esercizio mi chiede di verificare il Teorema di Stokes , valutando i due membri indipendentemente.
Testo: Si consideri la superficie descritta da:
$z=x^2+y^2$ per $x^2+y^2<=R^2,x>=0,y>=0$
ed il campo vettoriale:
$F(x,y,z)=(1,0,y)$
i) Calcolare il flusso di rotF attraverso la superficie orientata verso l'alto
ii) Calcolare la circuitazione di F lungo il bordo della superficie (positivamente orientato)
i) Applicando la definizione di integrale di superficie ho che:
$ int int rotul(F)@ ul(n)dS =-2/3R^3$
ii) Tuttavia, quando calcolo la circuitazione del Campo F , trovo lo stesso risultato ma col segno opposto:
$ oint_(partial^+Sigma) ul(F)@ dul(r) =2/3R^3$
Non capisco dov'è che sbaglio nel calcolo della circuitazione
Mio svolgimento:
$r_1(t)=(t,0,t^2)$ con $t in[R,0]$
$r_1'(t)=(1,0,2t)$
$r_2(t)=(Rcost,Rsint,R^2)$ con $t in [pi/2,0]$
$r_2'(t)=(-Rsint,Rcost,0)$
$r_3(t)=(0,t,t^2)$ con $t in [0,R]$
$r_3'(t)=(0,1,2t)$
$F_1=(1,0,0)$
$F_2=(1,0,Rsint)$
$F_3=(1,0,t)$
$ int_(gamma_1) F_1@ dr = int_(R)^(0) (1,0,0) @ (1,0,2t) dt=-R $
$ int_(gamma_2) F_2@ dr = int_(pi/2)^(0) (1,0,Rsint) @ (-Rsint,Rcost,0) dt=-R[-cost]=-R(-cos0)=R $
$ int_(gamma_3) F_3@ dr = int_(0)^(R) (1,0,t) @ (0,1,2t) dt=2 int_(0)_(R)t^2dt=2/3R^3 $
da cui: $I=-R+R+2/3R^3=2/3R^3$
Testo: Si consideri la superficie descritta da:
$z=x^2+y^2$ per $x^2+y^2<=R^2,x>=0,y>=0$
ed il campo vettoriale:
$F(x,y,z)=(1,0,y)$
i) Calcolare il flusso di rotF attraverso la superficie orientata verso l'alto
ii) Calcolare la circuitazione di F lungo il bordo della superficie (positivamente orientato)
i) Applicando la definizione di integrale di superficie ho che:
$ int int rotul(F)@ ul(n)dS =-2/3R^3$
ii) Tuttavia, quando calcolo la circuitazione del Campo F , trovo lo stesso risultato ma col segno opposto:
$ oint_(partial^+Sigma) ul(F)@ dul(r) =2/3R^3$
Non capisco dov'è che sbaglio nel calcolo della circuitazione
Mio svolgimento:
$r_1(t)=(t,0,t^2)$ con $t in[R,0]$
$r_1'(t)=(1,0,2t)$
$r_2(t)=(Rcost,Rsint,R^2)$ con $t in [pi/2,0]$
$r_2'(t)=(-Rsint,Rcost,0)$
$r_3(t)=(0,t,t^2)$ con $t in [0,R]$
$r_3'(t)=(0,1,2t)$
$F_1=(1,0,0)$
$F_2=(1,0,Rsint)$
$F_3=(1,0,t)$
$ int_(gamma_1) F_1@ dr = int_(R)^(0) (1,0,0) @ (1,0,2t) dt=-R $
$ int_(gamma_2) F_2@ dr = int_(pi/2)^(0) (1,0,Rsint) @ (-Rsint,Rcost,0) dt=-R[-cost]=-R(-cos0)=R $
$ int_(gamma_3) F_3@ dr = int_(0)^(R) (1,0,t) @ (0,1,2t) dt=2 int_(0)_(R)t^2dt=2/3R^3 $
da cui: $I=-R+R+2/3R^3=2/3R^3$
Risposte
Coraggio, e' solo una questione di verso di percorrenza del bordo.
Percorrendo il bordo il versore normale deve essere alla sinistra.
Percorrendo il bordo il versore normale deve essere alla sinistra.
"Quinzio":
Coraggio, e' solo una questione di verso di percorrenza del bordo.
Percorrendo il bordo il versore normale deve essere alla sinistra.
Si, la regola è stata rispettata . Ma non va
*Aggiornamento: credo di aver risolto.
L'orientazione del bordo è opposta a quella del mio disegno.
Questo perché giocano un ruolo fondamentale nel capire l'orientazione delle singole curve:
1. immaginare un omino che nelle tre-dimensioni si muove sul "piano" in cui giace quella specifica curva
2. capire la posizione di questo omino rispetto al nostro punto di vista
3. ma soprattutto capire "come si deve muovere quest'omino affinché la freccia
della normale si trovi alla sinistra del suo corpo
CASO dei piani verticali
[verso di $gamma_3$]
1. la curva risiede nel piano y-z, quindi l'omino tridimensionale deve muoversi su questo piano
2. rispetto al nostro punto di vista (e cioè: guardando quel sistema di assi, dal punto di vista dell'ottante positivo) --> l'omino si trova "davanti" al piano y-z
3. adesso ci chiediamo
DOM: come deve muoversi l'omino affinché il vettore normale $n$ stia alla sua sinistra?
RISP: deve "scendere" da quella curva
[verso di $gamma_1$]
1. la curva risiede nel piano x-z
2. rispetto al nostro punto di vista--> l'omino si trova "davanti" al piano x-z
3. affinché la freccia n stia alla sua sinistra --> l'omino deve "salire" questa curva
CASO del piano orizzontale
[verso di $gamma_2$]
1. la curva risiede nel piano x-y
2. rispetto al nostro punto di vista--> l'omino si trova "sopra" questo piano
3. qui, considerato che: la superficie "collassa" sull'asse z
--> allora guardo "non la freccia" ma "il suo punto di applicazione"
Punto di applicazione che "man mano collassa assieme alla superficie sull'asse z"
quindi affinché stia sempre alla sinistra dell'omino la curva dev'essere percorsa in senso antiorario
Ciao CallistoBello,
Sicuro di non aver sbagliato invece questo calcolo del flusso?
Se non ho fatto male i conti si ha:
$ \text{rot}(\mathbf F) = |(\mathbf \hat i, \mathbf \hat j, \mathbf \hat k),(\del_x,\del_y, \del_z),(1, 0, y)| = \mathbf \hat i \implies (1, 0, 0) $
Sicché si ha:
$\int \int_{\Sigma} \text{rot}(\mathbf F) \cdot \mathbf \hat n \text{d}S = \int \int_{x^2 + y^2 \le R^2} (1, 0, 0) \cdot (-2x, -2y, 1) \text{d}x \text{d}y = - 2 \int \int_{x^2 + y^2 \le R^2} x\text{d}x \text{d}y = $
$ = - 2 \int_{\pi/2}^0 \int_0^R \rho^2 cos\theta \text{d}\rho \text{d}\theta = 2 \int_0^{\pi/2} \int_0^R \rho^2 cos\theta \text{d}\rho \text{d}\theta = 2 \int_0^R \rho^2 \text{d}\rho = 2/3 R^3 $
"CallistoBello":
i) Calcolare il flusso di rotF attraverso la superficie orientata verso l'alto
Sicuro di non aver sbagliato invece questo calcolo del flusso?
Se non ho fatto male i conti si ha:
$ \text{rot}(\mathbf F) = |(\mathbf \hat i, \mathbf \hat j, \mathbf \hat k),(\del_x,\del_y, \del_z),(1, 0, y)| = \mathbf \hat i \implies (1, 0, 0) $
Sicché si ha:
$\int \int_{\Sigma} \text{rot}(\mathbf F) \cdot \mathbf \hat n \text{d}S = \int \int_{x^2 + y^2 \le R^2} (1, 0, 0) \cdot (-2x, -2y, 1) \text{d}x \text{d}y = - 2 \int \int_{x^2 + y^2 \le R^2} x\text{d}x \text{d}y = $
$ = - 2 \int_{\pi/2}^0 \int_0^R \rho^2 cos\theta \text{d}\rho \text{d}\theta = 2 \int_0^{\pi/2} \int_0^R \rho^2 cos\theta \text{d}\rho \text{d}\theta = 2 \int_0^R \rho^2 \text{d}\rho = 2/3 R^3 $
"pilloeffe":
Sicuro di non aver sbagliato invece questo calcolo del flusso?
Non credo, perché il testo mi propone la seguente soluzione:
Però $\theta $ varia fra $\pi/2 $ e $0$ nel verso della freccia che compare nel disegno che hai postato, non da $0$ a $\pi/2 $... 
Si.
Ma infatti ho indicato che :
Il mio errore è dovuto al fatto che:
- se si ragiona sul mio disegno considerando quella superficie come "una figura nel foglio",
si viene indotti a pensare che il verso sia quello del disegno
Tuttavia, quel disegno bisogna pensarlo in tre dimensioni , focalizzandoci di volta in volta
sulla "posizione del versore normale $ul(n)$ rispetto a quella di un omino che cammina sul piano in cui giace la curva"
e tenere presente che "al decrescere della quota z, la superficie collassa nell'origine degli assi"
o almeno questo il mio tentativo di spiegarmi il "perché" del verso contrario nell'orientazione del bordo.
Ma infatti ho indicato che :
"CallistoBello":
L'orientazione del bordo è opposta a quella del mio disegno.
Il mio errore è dovuto al fatto che:
- se si ragiona sul mio disegno considerando quella superficie come "una figura nel foglio",
si viene indotti a pensare che il verso sia quello del disegno
Tuttavia, quel disegno bisogna pensarlo in tre dimensioni , focalizzandoci di volta in volta
sulla "posizione del versore normale $ul(n)$ rispetto a quella di un omino che cammina sul piano in cui giace la curva"
e tenere presente che "al decrescere della quota z, la superficie collassa nell'origine degli assi"
o almeno questo il mio tentativo di spiegarmi il "perché" del verso contrario nell'orientazione del bordo.
"CallistoBello":
o almeno questo il mio tentativo di spiegarmi il "perché" del verso contrario nell'orientazione del bordo.
Prova a pensare solo alla proiezione del paraboloide sul piano $xy$.
L'hai anche disegnata sul foglio la proiezione, e' quella zona tratteggiata dove hai scritto $n$.
Le tre curve diventano il bordo della proiezione, e il versore punta verso l'alto, pensalo come verticale.
A quel punto vedere i versi di percorrenza giusti e' facile.
Questo esempio va bene solo per capire se i versi sono giusti, poi devi far sempre riferimento alla figura 3D.
"CallistoBello":
o almeno questo il mio tentativo di spiegarmi il "perché" del verso contrario nell'orientazione del bordo.
Direi di no. Con la regola della mano destra ed il pollice nel verso della normale uscente è corretto il percorso disegnato nell'immagine che hai postato. Se invece è sbagliato il disegno che hai postato per quanto riguarda il percorso, allora sono da cambiare anche gli altri due, però in tal caso la normale sarebbe entrante, non uscente...
"pilloeffe":
Però $\theta $ varia fra $\pi/2 $ e $0$ nel verso della freccia che compare nel disegno che hai postato, non da $0$ a $\pi/2 $...
Quindi devo rispettare l'orientazione anche quando calcolo l'integrale sul dominio di quella superficie?
Cioè quel triangolo tondo alla base dev'essere descritto non come:
${(rho,theta):rho in [0,R], theta in [0,pi/2]}$
ma come
${(rho,theta):rho in [0,R], theta in [pi/2,0]}$
Questo mi porterebbe ad avere che: anche al membro di sinistra del teorema della divergenza ho che l'integrale di superficie vale: $+2/3R^3$
Con conseguenza che: il mio disegno era ok .
Ciò non toglie che però il libro si trova: $-2/3R^3$ sia al membro di sinistra che al membro di destra
Da questa immagine però mi pare di capire che: lui ha invertito asse x ed asse y
quindi è sbagliato sul libro?
"CallistoBello":
Da questa immagine però mi pare di capire che: lui ha invertito asse x ed asse y
Non lo so perché gli assi cartesiani non sono scritti, anche se posso presumere che l'asse $x$ sia quello a sinistra e l'asse $y$ quello a destra (terna destrorsa); dal disegno però mi pare di scorgere un percorso opposto a quello del disegno da te inizialmente postato, quindi normale entrante. E forse è proprio questo che intendeva dire, visto che
"CallistoBello":
[...]attraverso la superficie orientata verso l'alto
"CallistoBello":
quindi è sbagliato sul libro?
Beh, può anche essere eh, non sarebbe mica la prima volta che ne troviamo...
"pilloeffe":
dal disegno però mi pare di scorgere un percorso opposto a quello del disegno da te inizialmente postato, quindi normale entrante.
Questo però contraddice il testo dell'esercizio in cui si parla di "normale verso l'alto"
"pilloeffe":
Non lo so perché gli assi cartesiani non sono scritti, anche se posso presumere che l'asse x sia quello a sinistra e l'asse y quello a destra (terna destrorsa);
Questo l'ho dedotto guardando le parametrizzazioni delle curve proposte dal testo:
Ad esempio: quella che lui denomina $gamma_1$ è una curva che vive nel piano : x=0 e cioè il piano y-z
Ma dal disegno sul libro la $gamma_1$ dovrebbe giacere nel piano x-z
"pilloeffe":
dal disegno però mi pare di scorgere un percorso opposto a quello del disegno da te inizialmente postato, quindi normale entrante.
"CallistoBello":
Questo però contraddice il testo dell'esercizio in cui si parla di "normale verso l'alto"
No, è coerente: quando scrive "$\Sigma $ orientata verso l'alto" intende proprio "normale verso l'alto", nel verso indicato dal versore $\mathbf \hat k $ dell'asse $z$, cioè normale entrante nella superficie (certo, se avesse scritto così secondo me sarebbe stato più chiaro...
); il "verso l'alto" che intendi tu invece è relativo al percorso indicato sul primo disegno che hai postato (regola della mano destra, col pollice nella direzione della normale e le dita nella direzione del percorso). D'altronde prova a pensare al ramo di destra di una parabola bidimensionale in un punto qualsiasi: se prendi la normale entrante essa punta verso l'alto, se prendi la normale uscente essa punta verso il basso.
"pilloeffe":
quando scrive "Σ orientata verso l'alto" intende proprio "normale verso l'alto", nel verso indicato dal versore kˆ dell'asse z, cioè normale entrante nella superficie
Cioè così ? Considerando $ul(n)=ul(k)=(0,0,1)$?
"pilloeffe":
il "verso l'alto" che intendi tu invece è relativo al percorso indicato sul primo disegno che hai postato (regola della mano destra, col pollice nella direzione della normale e le dita nella direzione del percorso).
E' vero che "interpretando" il "verso l'alto" come "giacente lungo l'asse z" la regola della mano dx mi assicura lo stesso verso proposto dal libro
però c'è il problema che: nel calcolo della normale , questa non ci viene puramente verticale.
Infatti: $ul(n)dS= (-2x,-2y,1)dxdy$
"CallistoBello":
però c'è il problema che: nel calcolo della normale, questa non ci viene puramente verticale.
Infatti non è puramente verticale (a meno di non considerare il punto $O(0, 0, 0) $... ). Dai un'occhiata ad esempio a questo semplice disegno bidimensionale: lungo la direzione della retta normale al punto $P$ si possono individuare due normali, quella entrante che punta (parzialmente d'accordo...) verso l'alto, quella uscente che punta verso il basso.
"pilloeffe":
lungo la direzione della retta normale al punto P si possono individuare due normali, quella entrante che punta (parzialmente d'accordo...) verso l'alto,
Quindi con "verso l'alto" si intende che:
<< immaginando di applicare il vettore $ul(n)$ nell'origine degli Assi $(0,0,0)$,
questo vettore deve avere una inclinazione tale da "puntare Punti del semispazio superiore" >>
Ora, tornando al mio disegno,
se pensiamo ad un sistema di tre assi coordinati con origine nel punto di applicazione della normale,
ho che questo vettore $ul(n)$ punterebbe al semispazio inferiore.
Questo è vero a causa della ""curvatura"" di quella superficie piana.
Tuttavia, se ci prendiamo "la faccia interna" di quella superficie piana, la situazione si ribalta e quindi si ha un $ul(n)$ che , per ogni punto di quella faccia interna, punta verso il semispazio superiore.
Sintesi:
per questo esercizio abbiamo due possibili conclusioni:
Scenario A: -nel calcolo del I membro del teorema del rotore, rispetto questo accorgimento:
"pilloeffe":
Però θ varia fra π2 e 0 nel verso della freccia che compare nel disegno che hai postato, non da 0 a π2
-nel calcolo del II membro del teorema del rotore,
utilizzo il mio disegno di partenza (quello "con normale uscente")
Risultato: mi viene $2/3R^3$ ad entrambi (il libro ha sbagliato)
Scenario B:
- la normale non è uscente , ma è entrante.
- il bordo della superficie è orientato come sul libro
Risultato: mi viene $-2/3R^3$ ad entrambi (il libro ha ragione)
Dunque , qual è la strada da seguire? A o B?
Scenario B: ha ragione il libro ed è errato il primo disegno che hai postato. Ti faccio notare che se avessi postato subito il secondo disegno, quello del libro, non ci sarebbero stati dubbi. Ad onor del vero però anche il libro ci ha messo del suo, perché ha creato ambiguità con quel "verso l'alto" che era inteso in assoluto e non relativamente alla superficie ed al percorso sul suo contorno (regola della mano destra): se avesse scritto subito normale entrante nella superficie non ci sarebbero stati dubbi. Credo però che comunque la discussione sia stata proficua, innanzitutto perché ti ha consentito di comprendere la questione nel dettaglio, poi perché ti ha consentito di comprendere cosa intendeva il testo con la richiesta di cui alla lettera a.
"CallistoBello":
[quote="pilloeffe"]lungo la direzione della retta normale al punto P si possono individuare due normali, quella entrante che punta (parzialmente d'accordo...) verso l'alto,
Quindi con "verso l'alto" si intende che:
<< immaginando di applicare il vettore $ul(n)$ nell'origine degli Assi $(0,0,0)$,
questo vettore deve avere una inclinazione tale da "puntare Punti del semispazio superiore" >>
[/quote]
Allora, hai il tuo vettore $\bb n = (x, y, z)$.
Puntare verso l'alto significa che $z > 0$.
Ad esempio il vettore $\bb n = (1, -5, 2)$ punta verso l'alto.
Il vettore $\bb n = (0, 4, -1)$ punta verso il basso.
Il vettore $\bb n = (0, 4, 0)$ e' orizzontale, non punta ne' verso l'alto, ne' verso il basso.
Puntare verso l'alto non vuol dire che il versore (o il vettore) e' verticale, ossia parallelo all'asse $z$, significa che la sua proiezione sull'asse $z$ e' positiva. Significa che punta piu' verso l'alto che verso il basso.
Mi puoi dire se a questo punto ti e' chiaro cosa vuol dire "punta verso l'alto", sia da un punto di vista intuitivo che formale ?
"Quinzio":
Mi puoi dire se a questo punto ti e' chiaro cosa vuol dire "punta verso l'alto", sia da un punto di vista intuitivo che formale ?
Si, un vettore con terza componente positiva.
"pilloeffe":
Ad onor del vero però anche il libro ci ha messo del suo, perché ha creato ambiguità con quel "verso l'alto" che era inteso in assoluto e non relativamente alla superficie ed al percorso sul suo contorno (regola della mano destra)
Quindi allo scritto di analisi dovrei chiedere al prof se il "verso l'alto" va interpretato:
- in senso assoluto = normale con terza componente positiva
oppure
- relativamente alla superficie ed al suo bordo = regola della mano dx
Grazie mille ad entrambi
"CallistoBello":
Si, un vettore con terza componente positiva.
Ok !!!
Ho corretto il mio post precedente perche' quelli non erano versori ma vettori.
I versori sono vettori di lunghezza pari a 1.
"CallistoBello":
Quindi allo scritto di analisi dovrei chiedere al prof se il "verso l'alto" va interpretato:
- in senso assoluto = normale con terza componente positiva
oppure
- relativamente alla superficie ed al suo bordo = regola della mano dx
Se il professore segue il libro direi che non ci sono dubbi... Magari per avere un'ulteriore conferma gli chiederei se la normale è entrante od uscente dalla superficie: se ti risponde che si deduce dalla richiesta dell'esercizio allora valgono i ragionamenti fatti in questo thread...
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