Ordini e sviluppi in serie
Ragazzi, spero che la pazienza vi assista, dal momento che non sono assolutamente un asso nelle approssimazioni asintotiche e sviluppi di taylor. Dunque, quando decido di approssimare con la formula di taylor una funzione per studiarne l'ordine di infinitesimo, devo arrestarmi per tutti gli sviluppi allo stesso punto? Posso combinare il metodo di sostituzione degli infinitesimi a quello dello sviluppo polinomiale? Per esempio:
$f(x) = sin(x) - x*e^x + x^2$
Devo calcolare l'ordine di infinitesimo in $x_0 = 0$. Poichè $sin(x) ~= x$, posso scrivere:
$f(x) ~= x - x*e^x + x^2$ per poi sviluppare in serie solo $e^x$ ?
$f(x) = sin(x) - x*e^x + x^2$
Devo calcolare l'ordine di infinitesimo in $x_0 = 0$. Poichè $sin(x) ~= x$, posso scrivere:
$f(x) ~= x - x*e^x + x^2$ per poi sviluppare in serie solo $e^x$ ?
Risposte
In realtà, la logica vuole che tu determini la parte principale dello sviluppo, cioè il minimo grado della potenza del polinomio di Taylor che abbia coefficiente non nullo.
Se ad esempio avessi sviluppato solo
[tex]\sin x-x=x+o(x)-x=o(x)[/tex]
e, nonostante la presenza dell'o piccolo ti fornisca delle informazioni, ai fine di comprendere quale sia l'approssimazione migliore non serve a molto. In questo caso dovresti sviluppare così
[tex]\sin x-x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/tex]
da cui puoi concludere che l'approssimazione "meno corretta" è dell'ordine di un polinomio di grado 3.
Ti consiglio di procedere così, quando svolgi un tale esercizio: scrivi gli sviluppi di tutte le funzioni polinomiali fino ad un certo ordine 8a volte sarà necessario anche salire un po' con le potenze); effettua le operazioni elementari di somma e prodotto per semplificare eventuali termini; trova il grado minimo del polinomio nello sviluppo di Taylor. Così facendo, con un po' di pratica, comincerai a capire "ad occhio" fino a quali ordini spingerti negli sviluppi (e quindi dove conviene arrestarsi) e in generale avere un'idea, già al primo impatto, di quale possa essere la parte principale della funzione da sviluppare.
Prova a risolvere questo esercizio aumentando gli sviluppi di un paio di ordini (e non limitandoti solo alla potenza più bassa) e vedi cosa accade.
Se ad esempio avessi sviluppato solo
[tex]\sin x-x=x+o(x)-x=o(x)[/tex]
e, nonostante la presenza dell'o piccolo ti fornisca delle informazioni, ai fine di comprendere quale sia l'approssimazione migliore non serve a molto. In questo caso dovresti sviluppare così
[tex]\sin x-x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/tex]
da cui puoi concludere che l'approssimazione "meno corretta" è dell'ordine di un polinomio di grado 3.
Ti consiglio di procedere così, quando svolgi un tale esercizio: scrivi gli sviluppi di tutte le funzioni polinomiali fino ad un certo ordine 8a volte sarà necessario anche salire un po' con le potenze); effettua le operazioni elementari di somma e prodotto per semplificare eventuali termini; trova il grado minimo del polinomio nello sviluppo di Taylor. Così facendo, con un po' di pratica, comincerai a capire "ad occhio" fino a quali ordini spingerti negli sviluppi (e quindi dove conviene arrestarsi) e in generale avere un'idea, già al primo impatto, di quale possa essere la parte principale della funzione da sviluppare.
Prova a risolvere questo esercizio aumentando gli sviluppi di un paio di ordini (e non limitandoti solo alla potenza più bassa) e vedi cosa accade.
Grazie ciampax! Ho approssimato $f(x) = sin(x) - x*e^x + x^2$ e il polinomio risultante è $P(x) = -2/3*x^3 + o(x^3)$
Poichè $o(x^3)$ è un infinitesimo di ordine $h>3$ lo posso trascurare a favore del monomio di ordine $2$, per il principio di eliminazione degli infinitesimi, giusto?
Quindi se ottengo dagli sviluppi un polinomio di Taylor del tipo: $T(x) = x^4 + o(x^2) + o(x^3)$ partendo da una certa funzione, vuol dire che devo sviluppare meglio poichè non riuscirei a calcolarmi l'ordine di infinitesimo, corretto?
Ho provato ha troncare prima gli sviluppi della funzione $f(x) = sin(x) - x*e^x + x^2$ e risulta $P(x) = o(x) - o(x^2)$, non posso eliminare alcuno dei due infinitesimi, esatto? Ma la cosa è più importante è che manca il polinomio!
Off-topic: sarà forse colpa di IE9, ma le formule matematiche vengono visualizzate col codice! Soprattutto le mie (quelle di ciampax le vedo bene). Forse sbaglio la formattazione del codice.
Poichè $o(x^3)$ è un infinitesimo di ordine $h>3$ lo posso trascurare a favore del monomio di ordine $2$, per il principio di eliminazione degli infinitesimi, giusto?
Quindi se ottengo dagli sviluppi un polinomio di Taylor del tipo: $T(x) = x^4 + o(x^2) + o(x^3)$ partendo da una certa funzione, vuol dire che devo sviluppare meglio poichè non riuscirei a calcolarmi l'ordine di infinitesimo, corretto?
Ho provato ha troncare prima gli sviluppi della funzione $f(x) = sin(x) - x*e^x + x^2$ e risulta $P(x) = o(x) - o(x^2)$, non posso eliminare alcuno dei due infinitesimi, esatto? Ma la cosa è più importante è che manca il polinomio!
Off-topic: sarà forse colpa di IE9, ma le formule matematiche vengono visualizzate col codice! Soprattutto le mie (quelle di ciampax le vedo bene). Forse sbaglio la formattazione del codice.
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