Ordini d'infinitesimo
Ciao, sto cercando di svolgere un esercizio di analisi matematica 1, in particolare lo studio della convergenza di un integrale. Il procedimento è stato quello di suddividere l'intervallo di integrazione in un doppio intervallo, da 0 a 1 e da 1 a +infinito, per poi utilizzare il teorema del confronto asintotico (con la funzione 1/x^a con a appartenente ad R). Per l'intervallo da 1 a +infinito non c'è problema, mentre per x che tende a 0 (quindi intervallo da 0 ad 1), qual è la stima asintotica della funzione integranda? Al denominatore non dovrebbe esserci x^3 perché è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x^1/2? Perché se prendiamo come asintotico del denominatore x^3 non ridà, mentre con x^1/2 sì.
Risposte
Ciao, benvenut* sul forum!
Non capisco questa parte, per $x \in ]0,1]$ funziona il confronto con $1/\sqrt{x}$, perché sia l'integranda che $1/\sqrt{x}$ sono non negative e:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x+1}{x^3+\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=1$$
e $\frac{1}{\sqrt{x}}$ è integrabile in senso improprio in un intorno destro di $0$. Mentre:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x+1}{x^3+\sqrt{x}}}{\frac{1}{x^3}}=0$$
quindi non sono verificate le ipotesi del criterio del confronto asintotico (o almeno, non di quello "classico"; ci sono varianti quando il limite del rapporto è $0$ o $\infty$).
Comunque, le foto si perdono nel tempo e quindi chiediamo, sul forum, di evitare di postarle perché poi rimarrebbero post incomprensibili per altri utenti; qui puoi leggere un tutorial per scrivere le formule sul forum. Potresti modificare il tuo messaggio scrivendo il problema con le formule integrate al forum, per favore? Grazie!
"DonnolaNera":
mentre per x che tende a 0 (quindi intervallo da 0 ad 1), qual è la stima asintotica della funzione integranda? Al denominatore non dovrebbe esserci x^3 perché è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x^1/2? Perché se prendiamo come asintotico del denominatore x^3 non ridà, mentre con x^1/2 sì.
Non capisco questa parte, per $x \in ]0,1]$ funziona il confronto con $1/\sqrt{x}$, perché sia l'integranda che $1/\sqrt{x}$ sono non negative e:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x+1}{x^3+\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=1$$
e $\frac{1}{\sqrt{x}}$ è integrabile in senso improprio in un intorno destro di $0$. Mentre:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x+1}{x^3+\sqrt{x}}}{\frac{1}{x^3}}=0$$
quindi non sono verificate le ipotesi del criterio del confronto asintotico (o almeno, non di quello "classico"; ci sono varianti quando il limite del rapporto è $0$ o $\infty$).
Comunque, le foto si perdono nel tempo e quindi chiediamo, sul forum, di evitare di postarle perché poi rimarrebbero post incomprensibili per altri utenti; qui puoi leggere un tutorial per scrivere le formule sul forum. Potresti modificare il tuo messaggio scrivendo il problema con le formule integrate al forum, per favore? Grazie!
Ciao DonnolaNera,
Come ti ha già scritto Mephlip, l'integrale proposto è convergente. Se ne può anche ricavare il valore e, anche se non è propriamente programma di Analisi matematica 1, te lo propongo lo stesso soprattutto per aiutarti a fare ciò che ti ha chiesto Mephlip:
Innanzitutto è molto comodo porre $t := \sqrt{x} \implies x = t^2 \implies \text{d}x = 2 t \text{d}t $ perché in tal modo gli estremi di integrazione non cambiano, ma la funzione integranda diventa razionale fratta:
$\int_0^{+\infty} (x + 1)/(x^3 + \sqrt{x}) \text{d}x = 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^6 + t) t \text{d}t = 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^5 + 1) \text{d}t $
A questo punto si potrebbe anche procedere trovandosi l'integrale indefinito per poi calcolarlo negli estremi di integrazione, ma i conti, benché possibili, sono lunghi e noiosi. Conviene invece ricondursi all'integrale
$\int_0^{+\infty} u^{p - 1}/(1 + u) \text{d}u = B(p, 1 - p) = \Gamma(p)\Gamma(1 - p) = \pi/(sin(p \pi)) $
che vale per $0 < \text{Re}
ponendo $t^5 = u \implies t = u^(1/5) \implies \text{d}t = 1/5 u^(1/5 - 1) \text{d}u $, sicché l'integrale proposto diventa il seguente:
$ 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^5 + 1) \text{d}t = 2/5 [\int_0^{+\infty} (u^(3/5 - 1) + u^(1/5 - 1))/(1 + u) \text{d}u] = 2/5 [\int_0^{+\infty} u^(3/5 - 1)/(1 + u) \text{d}u + \int_0^{+\infty} u^(1/5 - 1)/(1 + u) \text{d}u] = $
$ = 2/5 [B(3/5, 2/5) + B(1/5, 4/5)] = 2/5 [\Gamma(3/5)\Gamma(2/5) + \Gamma(1/5)\Gamma(4/5)] = $
$ = 2/5 [\pi/\sin(3\pi/5) + \pi/\sin(\pi/5)] = (2\pi)/5 [1/\sin(3\pi/5) + 1/\sin(\pi/5)] = $
$ = (2\pi)/5 [1/\sqrt{5/8 - \sqrt5/8} + 1/\sqrt{5/8 + \sqrt5/8}] = $
$ = (4\pi)/5 \sqrt{1 + 2/\sqrt5} ~~ 3,459 $
Come ti ha già scritto Mephlip, l'integrale proposto è convergente. Se ne può anche ricavare il valore e, anche se non è propriamente programma di Analisi matematica 1, te lo propongo lo stesso soprattutto per aiutarti a fare ciò che ti ha chiesto Mephlip:
"Mephlip":
Potresti modificare il tuo messaggio scrivendo il problema con le formule integrate al forum, per favore? Grazie!
Innanzitutto è molto comodo porre $t := \sqrt{x} \implies x = t^2 \implies \text{d}x = 2 t \text{d}t $ perché in tal modo gli estremi di integrazione non cambiano, ma la funzione integranda diventa razionale fratta:
$\int_0^{+\infty} (x + 1)/(x^3 + \sqrt{x}) \text{d}x = 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^6 + t) t \text{d}t = 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^5 + 1) \text{d}t $
$\int_0^{+\infty} (x + 1)/(x^3 + \sqrt{x}) \text{d}x = 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^6 + t) t \text{d}t = 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^5 + 1) \text{d}t $A questo punto si potrebbe anche procedere trovandosi l'integrale indefinito per poi calcolarlo negli estremi di integrazione, ma i conti, benché possibili, sono lunghi e noiosi. Conviene invece ricondursi all'integrale
$\int_0^{+\infty} u^{p - 1}/(1 + u) \text{d}u = B(p, 1 - p) = \Gamma(p)\Gamma(1 - p) = \pi/(sin(p \pi)) $
che vale per $0 < \text{Re}
< 1 $
$\int_0^{+\infty} u^{p - 1}/(1 + u) \text{d}u = B(p, 1 - p) = \Gamma(p)\Gamma(1 - p) = \pi/(sin(p \pi)) $
che vale per $0 < \text{Re}[p] < 1 $
ponendo $t^5 = u \implies t = u^(1/5) \implies \text{d}t = 1/5 u^(1/5 - 1) \text{d}u $, sicché l'integrale proposto diventa il seguente:
$ 2 \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)/(t^5 + 1) \text{d}t = 2/5 [\int_0^{+\infty} (u^(3/5 - 1) + u^(1/5 - 1))/(1 + u) \text{d}u] = 2/5 [\int_0^{+\infty} u^(3/5 - 1)/(1 + u) \text{d}u + \int_0^{+\infty} u^(1/5 - 1)/(1 + u) \text{d}u] = $
$ = 2/5 [B(3/5, 2/5) + B(1/5, 4/5)] = 2/5 [\Gamma(3/5)\Gamma(2/5) + \Gamma(1/5)\Gamma(4/5)] = $
$ = 2/5 [\pi/\sin(3\pi/5) + \pi/\sin(\pi/5)] = (2\pi)/5 [1/\sin(3\pi/5) + 1/\sin(\pi/5)] = $
$ = (2\pi)/5 [1/\sqrt{5/8 - \sqrt5/8} + 1/\sqrt{5/8 + \sqrt5/8}] = $
$ = (4\pi)/5 \sqrt{1 + 2/\sqrt5} ~~ 3,459 $
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