Ordini di infinito
Salve.
Ho incontrato qualche difficoltà nella trattazione degli infinitesimi/infiniti che propone il mio testo d'Analisi I (Dolcher).
In particolare non mi è chiaro quando, introducendo una relazione d'ordine (parziale) tra le classi di equivalenza degli infiniti, l'autore scrisse:
" Si noti peraltro che non si tratta di una relazione di ordine totale, potendo ben avvenire che di due distinti ordini di infinito nessuno sia superiore all'altro. E infatti può $| f(x)/g(x) |$ essere, in ogni intorno di $x_0$, superiormente illimitato senza tendere all'infinito, magari anche avendo, in ogni intorno di $x_0$ , estremo inferiore 0. "
Sarei grato a chiunque avesse voglia di interpretarmelo usando altre parole. "Parafrasandomelo". Grazie.
Aggiungo: $f(x)$ e $g(x)$ sono infiniti per $x -> x_0$ .
Ho incontrato qualche difficoltà nella trattazione degli infinitesimi/infiniti che propone il mio testo d'Analisi I (Dolcher).
In particolare non mi è chiaro quando, introducendo una relazione d'ordine (parziale) tra le classi di equivalenza degli infiniti, l'autore scrisse:
" Si noti peraltro che non si tratta di una relazione di ordine totale, potendo ben avvenire che di due distinti ordini di infinito nessuno sia superiore all'altro. E infatti può $| f(x)/g(x) |$ essere, in ogni intorno di $x_0$, superiormente illimitato senza tendere all'infinito, magari anche avendo, in ogni intorno di $x_0$ , estremo inferiore 0. "
Sarei grato a chiunque avesse voglia di interpretarmelo usando altre parole. "Parafrasandomelo". Grazie.
Aggiungo: $f(x)$ e $g(x)$ sono infiniti per $x -> x_0$ .
Risposte
introducendo una relazione d'ordine (parziale) tra le classi di equivalenza degli infinitiQuale esattamente?
Anzitutto introduce una relazione di equivalenza:
DEF: Detti $f$, $g$ due infiniti ( per $x -> x_0$ ), diciamo che $f$ è equivalente a $g$ se esistono due numeri positivi k', k'' i che per un opportuno intorno U di $x_0$ si abbia:
$0 < k'< |f(x)/g(x)| < k''$ , per $x € U°$
Due infiniti equivalenti si dicono dello stesso ordine.
A questo punto introduce una relazione d'ordine:
DEF: Detti $f$, $g$ due infiniti ( per $x -> x_0$ ), diciamo che $f$ è superiore a $g$ se è:
$f(x)/g(x) -> oo $
Poi specifica che la relazione d'ordine è transitiva e disimmetrica (quindi... Forse non è un semiordinamento).
DEF: Detti $f$, $g$ due infiniti ( per $x -> x_0$ ), diciamo che $f$ è equivalente a $g$ se esistono due numeri positivi k', k'' i che per un opportuno intorno U di $x_0$ si abbia:
$0 < k'< |f(x)/g(x)| < k''$ , per $x € U°$
Due infiniti equivalenti si dicono dello stesso ordine.
A questo punto introduce una relazione d'ordine:
DEF: Detti $f$, $g$ due infiniti ( per $x -> x_0$ ), diciamo che $f$ è superiore a $g$ se è:
$f(x)/g(x) -> oo $
Poi specifica che la relazione d'ordine è transitiva e disimmetrica (quindi... Forse non è un semiordinamento).
"Seneca":Più che altro non è un ordine totale. Infatti come vedi sta richiedendo che il limite esista, il che non è vero per ogni coppia $f, g$ di infiniti. Anzi possono capitare casi anche particolarmente controintuitivi come quello che ti cita nel testo ($|\frac{f(x)}{g(x)}|$ illimitato superiormente in ogni intorno di $x_0$ ma con estremo inferiore $0$ - di sicuro il limite non esiste).
DEF: Detti $f$, $g$ due infiniti ( per $x -> x_0$ ), diciamo che $f$ è superiore a $g$ se è:
$f(x)/g(x) -> oo $
Poi specifica che la relazione d'ordine è transitiva e disimmetrica (quindi... Forse non è un semiordinamento).
Grazie per le risposte. Già, fa esempi "particolarmente controintuitivi".
Saluti.
Saluti.
Per queste questioni permettetemi di consigliare il sempreverde Fiorenza-Greco, Lezioni di Analisi Matematica, volume primo, Liguori.
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