Ordini di infinito

[marco128]

avendo un limite con $x->+oo$ è più "veloce" $n^100$ o $n!$ ? Io ho pensato $n^100$
è se avessi $n^10$ contro $e^(n/10)$? Io ho pensato $e^(n/10)$

[kobeilprofeta]

Ciao.
La prima è piú veloce $n!$
la seconda $e^(n/10)$
ci sono kolti modi per farlo vedere...

[kobeilprofeta]

...per esempio prendi $n=1000000$, ora se tu fai $frac{n!}{n^100}$ noti che sotto hai cento volte il numero $1000000$, mentre sopra hai già i numeri dal $1000000-100=999900$ al $1000000$ che sono "quasi semplificabili", e ti resterebbe al numeratore un'altra infinita di numeri.
Vista in un altro modo:
Prendi $n$ numeri, con $n$ pari, e accoppiali cosí: il primo con l'ultimo, il secondo con il penultimo, etc... E fai il prodotto di ogni singola coppia. Ti ritrovi con $n/2$ numeri, e ognuno di essi è $>=n$ (facile da verificare).
Ora quindi, dato che $n to infty$, prendi un $n$ molto maggiore di $100$, diciamo $1000$ e ripeti il procedimento. Ti ritrovi con $500$ coppie che danno $500$ numeri ognuno maggiore di $n$. E, dato che il fattoriale di $1000$ è proprio il prodotto di quei $500$ numeri ricavati (pensa al perchè), ti trovi con $n!$ che è il prodotto di $500$ numeri, ognuno $>=n$ e $n^100$ che è il prodotto di $100$ numeri, ognuno $<=n$...
spero di essere stato chiaro

[kobeilprofeta]

Per quanto riguarda la seconda puoi ragionare in modo analogo:
È come avere $n^100$ e $e^n$ (basta che elevi entrambi alla 10)
Ora se $n$ è enorme (diciamo ancora 1000), $e^n$ lo scrivo come $e*e*e*...$ 1000 volte. Ora raggruppo questi fattori in gruppi di 7 (perchè $e^7>1000$, in generale basta raggrupparli in gruppi di $k$, tale che $k>log 1000$, in questo caso $ln 1000=6,90$) e ancora ho $n/log n=1000/7=142$ fattori tutti maggiori di $n=1000$ (infatti ho scelto di raggrupparli in gruppi da 7 proprio perchè $e^7>1000$). E concludo che il prodotto di $142$ fattori tutti $>n$ è maggiore di $n^100$.
in alternativa avrei potuto dividere gli $n$ fattori $e$ in 100 gruppi:
Scelgo $n$ molto grande. Ho $e^n=e*e*e*...$ $n$ volte. Raggruppo queste $e$ in 100 gruppi, ognuno formato da $n/100$ fattori. Ora mi basta verificare che ognuno di questi fattori (gruppi di $n/100$ $e$), li chiamo $x$, sia maggiore di $n$. Ho che $x=e^{n/100}>n$ se $n/100> ln n$, cioè se $n>100*ln n$ e questo puoi verificarlo tu.
Ciao.