Ordini di infinitesimo
Ciao! Ho questo esercizio che mi chiede di ordinare in ordine crescente di infinitesimo le seguenti funzioni per x che tende a zero:
\(\displaystyle x^2\log x \)
\(\displaystyle \frac{x-\sin x+x^6}{\sqrt x} \)
\(\displaystyle \sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+x^2} \)
\(\displaystyle x+x^2\log x \)
Come posso fare? Devo sviluppare con Taylor e vedere gli o piccoli come sono?
Inoltre, in un limite 0/0, se l'ordine di infinitesimo al denominatore è più piccolo di quello al numeratore ottengo infinito?
Grazie!
\(\displaystyle x^2\log x \)
\(\displaystyle \frac{x-\sin x+x^6}{\sqrt x} \)
\(\displaystyle \sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+x^2} \)
\(\displaystyle x+x^2\log x \)
Come posso fare? Devo sviluppare con Taylor e vedere gli o piccoli come sono?
Inoltre, in un limite 0/0, se l'ordine di infinitesimo al denominatore è più piccolo di quello al numeratore ottengo infinito?
Grazie!
Risposte
Dunque io farei così:
Partirei da una definizione di ordine di infinitesimo di $ f(x) $ rispetto ad un infinitesimo campione $ g(x) $ definitivamente diverso da $ 0 $ per $ xrarr 0 $
$ lim_(x -> 0) f(x)/(g(x)^\alpha) = K $ reale $ rArr $ infinitesimi dello stesso ordine.
$ lim_(x -> 0) f(x)/(g(x)^\alpha) = infty $ $ rArr $ $ f $ ha ordine inferiore ad $ alpha $ vince $ g $ che si comporta da zero mentre $ f $ da costante.
$ lim_(x -> 0) f(x)/(g(x)^\alpha) = 0 $ $ rArr $ $ f $ ha ordine superiore ad $ alpha $ vince $ f $ che si comporta da zero mentre $ g $ da costante.
Prenderei l'infinitesimo campione $ g(x)=x $ e al variare di $ alpha $ studierei:
Ad esempio $ lim_(x -> 0^+) (x^2logx)/x^alpha $ per $ alpha=2,3 $ il limite è $ -infty $ per $ alpha=1 $ hai $ 0 $ per cui l'ordine è tra $ 1 $ e $ 2 $
L'ultimo invece $ lim_(x -> 0^+) (x+(x^2logx))/x^alpha $ per $ alpha=1 $ è pari a $ 1 $ quindi l'ordine è proprio quello.
Partirei da una definizione di ordine di infinitesimo di $ f(x) $ rispetto ad un infinitesimo campione $ g(x) $ definitivamente diverso da $ 0 $ per $ xrarr 0 $
$ lim_(x -> 0) f(x)/(g(x)^\alpha) = K $ reale $ rArr $ infinitesimi dello stesso ordine.
$ lim_(x -> 0) f(x)/(g(x)^\alpha) = infty $ $ rArr $ $ f $ ha ordine inferiore ad $ alpha $ vince $ g $ che si comporta da zero mentre $ f $ da costante.
$ lim_(x -> 0) f(x)/(g(x)^\alpha) = 0 $ $ rArr $ $ f $ ha ordine superiore ad $ alpha $ vince $ f $ che si comporta da zero mentre $ g $ da costante.
Prenderei l'infinitesimo campione $ g(x)=x $ e al variare di $ alpha $ studierei:
Ad esempio $ lim_(x -> 0^+) (x^2logx)/x^alpha $ per $ alpha=2,3 $ il limite è $ -infty $ per $ alpha=1 $ hai $ 0 $ per cui l'ordine è tra $ 1 $ e $ 2 $
L'ultimo invece $ lim_(x -> 0^+) (x+(x^2logx))/x^alpha $ per $ alpha=1 $ è pari a $ 1 $ quindi l'ordine è proprio quello.
@luc.mm: Va bene, l'unica cosa a cui stare attenti è che l'ordine $\alpha$ puo' anche non essere un numero intero. Prendi per esempio la funzione $f(x)=|x|^\frac{1}{2}$.
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