Ordine nello sviluppo in serie di McLaurin
Non capisco che cosa vuol dire fermarsi al second'ordine in uno sviluppo in serie. Io pensavo si riferisse all'ordine della derivata, ma al second'ordine senx=1+x^3/3, e quindi questa cosa non mi è chiara. Allora chiedo a chi ne sa più di me, che cosa è l'ordine in uno sviluppo in serie? Grazie
Risposte
$sin x= x-{x^3}/{3!}+o(x^3)$ è lo sviluppo di MacLaurin al terzo ordine della funzione seno
No. Secondo il mio prof. no. E' al secondo ordine perchè non ci sta il termine in x^2. Quindi non va bene. Grazie dell'aiuto cmq.
io ho sempre saputo che l'ordine dello sviluppo coincide con il grado del polinomio.
Il punto è che le funzioni dispari hanno i coefficienti dei termini di grado pari nulli. Per esempio scriverei lo sviluppo al quarto ordine del seno così:
$sinx=x-{x^3}/{3!}+o(x^4)$
Il punto è che le funzioni dispari hanno i coefficienti dei termini di grado pari nulli. Per esempio scriverei lo sviluppo al quarto ordine del seno così:
$sinx=x-{x^3}/{3!}+o(x^4)$
Fermarsi a un certo ordine è molto semplice con funzioni quali $e^x=1+x+1/2{x^2}+0(x^2)$.
Quando però abiamo funzioni che non esplicitano tutti i termini delle x, ad esempio le funzioni periodiche $sinx, cosx$ che hanno le derivate che ciclicamente si annullano (ad esempio in $x=0$ {$cos(x)=1$; $cos'(x)=0$; $cos'^(2)(x)=-1$ $cos'^(3)(x)=0$ etc.}) si può "rubare" un grado in più all'esponente dell' o-piccolo.
Mi spiego meglio: Fermarsi all'ordine 3 della $f(x)=cosx$ : abbiamo $cos=1+0x-1/2 (x^2)+(0x^3)+o(x^3)$ che scritto per bene altri non è che $cosx=1-1/2 (x^2)+o(x^3)$ ovvero lo sviluppo di ordine 3 della funzione $cos$ anche se non è presente all'interno (ad eccezzione dell'o-piccolo) il termine $x^3$.
Ciao!
Quando però abiamo funzioni che non esplicitano tutti i termini delle x, ad esempio le funzioni periodiche $sinx, cosx$ che hanno le derivate che ciclicamente si annullano (ad esempio in $x=0$ {$cos(x)=1$; $cos'(x)=0$; $cos'^(2)(x)=-1$ $cos'^(3)(x)=0$ etc.}) si può "rubare" un grado in più all'esponente dell' o-piccolo.
Mi spiego meglio: Fermarsi all'ordine 3 della $f(x)=cosx$ : abbiamo $cos=1+0x-1/2 (x^2)+(0x^3)+o(x^3)$ che scritto per bene altri non è che $cosx=1-1/2 (x^2)+o(x^3)$ ovvero lo sviluppo di ordine 3 della funzione $cos$ anche se non è presente all'interno (ad eccezzione dell'o-piccolo) il termine $x^3$.
Ciao!
Se leggi qui http://www.imati.cnr.it/~brezzi/matA/ap ... Taylor.pdf cosa intende per ordine ti accorgi che non è così. Infatti secondo questo prof l'ordine è il "l’ordine coincide, in termini colloquiali, col numero di derivate che vengono copiate". Cosa ne pensi?
Infatti. Dire che l'ordine coincide col numero di derivate distinte vuol dire che al secondo ordine cosx si sviluppa fino al termine in x^2. Non sei d'accordo?
Nota (per le mucche)Omg
Per il coseno se sviluppi al secondo ordine, hai un polinomio di grado 2.
Ma per il seno no. Se sviluppi al primo ordine o al secondo ordine, hai sempre un polinomio di grado 1.
[tex]$\sin x = x + o(x)$[/tex].
[tex]$\sin x = x + \bigg(0 \cdot \frac{x^2}{2}\bigg) + o(x^2) = x + o(x^2)$[/tex].
(ti ho messo tra parentesi il termine che sparisce)
Vabbé è una convenzione adottata da questo professore. Penso che sia l'unico sulla faccia della Terra a fare questa distinzione, ma è ragionevole, e ci possiamo adattare.
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