Ordine infinitesimo semplice (e non riesco!)

[iMax21]

Salve a tutti,
sono ancora a preparare analisi per l'ennesima volta, non riesco in particolar modo oggi a risolvere questo esercizio:
$f(x) = (1+3x^4)^(1/6)-1 $
trovare ordine di infinitesimo e parte principale di f per $ x->0 $
banalmente ho impostato:
$ lim_(x->0) f(x) / x^\alpha $
ora, quella parentesi non riesco a toglierla (non posso portare dentro l'esponente), se imposto $alpha = 1/6 $ non mi aiuta perché c'è quel maledetto $1$ e non posso semplificare...possibile non riesco a risolvere un esercizietto del genere?
ho guardato anche taylor ma non mi sembra molto utile in questo caso...
perdonatemi ma non riesco proprio a vedere le cose in matematica probabilmente ci sarà da fare un passaggio semplicissimo

[redlex91-votailprof]

Limite notevole:
[tex]\lim_{x\to0}\frac {(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha,\quad\alpha\in\mathbb {R}[/tex]
Poi vai avanti tu!

[iMax21]

grazie mille! avrei solo bisogno di qualche conferma su quel che ho ricavato
dunque,
$lim_(x->0) ((1+3x^4)^(1/6)-1)/(3x^4) = 1/6$
così che ordine = $1/6$ e parte principale = $1/6 * 3x^4 = 1/2x^4$

corretto?

[redlex91-votailprof]

Sia [tex]f[/tex] funzione infinitesima per [tex]x\to x_0[/tex] e [tex]g(x)=x-x_0[/tex] infinitesimo campione, l'ordine di [tex]f[/tex] rispetto all'infinitesimo campione [tex]g[/tex] per [tex]x\to x_0[/tex] è il numero [tex]\alpha\in\mathbb{R}[/tex] tale che:
[tex]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}=L\in\mathbb{R}[/tex]
con [tex]L[/tex] finito e non nullo.

[tex]\lim_{x\to0}\frac{(1+3x^4)^\frac{1}{6}-1}{x^\alpha}\underset{\alpha=4}{=}\lim_{x\to0}\frac{(1+3x^4)^\frac{1}{6}-1}{x^4}=\frac{1}{2}[/tex]
da cui segue che l'ordine di infinitesimo di [tex]f[/tex] rispetto all'infiniesimo campione per [tex]x\to0[/tex] è [tex]\alpha=4[/tex] e anche che la parte principale è [tex]p(x)=\frac{1}{2}x^4[/tex] poiché se la sostituiamo all'infinitesimo campione nel limite sopra questo è pari ad [tex]1[/tex].