Ordine infinitesimo
Ho problemi a calcolare l'ordine infinitesimo di questa funzione oltre al fatto che non capisco la soluzione, mi potreste aiutare, per favore?
Si calcoli l'ordine infinitesimo della funzione $f(x)=(e^x-1)^2sqrt|x|$ nel punto $x_0=0$
La soluzione è: maggiore di 2 e minore di 3
.... ma come faccio a saperlo? io so che per calcolare gli infinitesimi basta fare al derivata nel punto $x_0$ e continuare a derivare sino a che non viene $f^n(x_0)!=0$ ...
Posto anche le derivate (sperando di non aver sbagliato)
$f'(x)=2(e^x-1)e^xsqrt|x|+((e^x-1)^2/(2sqrt|x|))$ e sostituisco il punto $x_0=0$ ma già qui dico: ho una radice al denominatore e non può essere uguale a zero
Continuo comunque con la derivata seconda
$f(x)=(2e^xsqrt|x|+(e^x/sqrt|x|))(e^x-1)+e^x(2e^xsqrt|x|)+[2e^x(e^x-1)2sqrt|x|-1/sqrt|x|-1/sqrtx(e^x-1)^2]/(4x)$
E qui si ripropone il problema della radice al denominatore... oltre al fatto che non capisco come si fa a dire che l'infinitesimo è maggiore di 2 ma minore di 3](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Si calcoli l'ordine infinitesimo della funzione $f(x)=(e^x-1)^2sqrt|x|$ nel punto $x_0=0$
La soluzione è: maggiore di 2 e minore di 3
.... ma come faccio a saperlo? io so che per calcolare gli infinitesimi basta fare al derivata nel punto $x_0$ e continuare a derivare sino a che non viene $f^n(x_0)!=0$ ...
Posto anche le derivate (sperando di non aver sbagliato)
$f'(x)=2(e^x-1)e^xsqrt|x|+((e^x-1)^2/(2sqrt|x|))$ e sostituisco il punto $x_0=0$ ma già qui dico: ho una radice al denominatore e non può essere uguale a zero
Continuo comunque con la derivata seconda
$f(x)=(2e^xsqrt|x|+(e^x/sqrt|x|))(e^x-1)+e^x(2e^xsqrt|x|)+[2e^x(e^x-1)2sqrt|x|-1/sqrt|x|-1/sqrtx(e^x-1)^2]/(4x)$
E qui si ripropone il problema della radice al denominatore... oltre al fatto che non capisco come si fa a dire che l'infinitesimo è maggiore di 2 ma minore di 3
Risposte
Io per calcolare l'ordine di infinitesimo di una funzione $f$ infinitesima per $x\rightarrow 0$ calcolo il $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^\alpha}$ che deve venire finito e non nullo per un opportuno valore di $\alpha$.
Provando in questo modo mi viene che $\alpha=\frac{3}{2}$, quindi l'ordine è $\frac{3}{2}$.
Spero di non aver sbagliato i calcoli però.
Provando in questo modo mi viene che $\alpha=\frac{3}{2}$, quindi l'ordine è $\frac{3}{2}$.
Spero di non aver sbagliato i calcoli però.
Oppure usa gli sviluppi di Taylor. Infatti sapendo che
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+\ldots$ ottieni anche $(e^x-1)^2=(x+x^2/2+x^3/6+\ldots)^2=x^2(1+x/2+x^2/6+\ldots)^2$
da cui
$f(x)=(e^x-1)^2\sqrt{|x|}=|x|^{{1}/{2}}\cdot x^2(1+x/2+x^2/6+\ldots)^2$
e visto che l'espressione tra parentesi tende a $1$ per $x\rightarrow 0$, ottieni che $f(x)\sim |x|^{5/2}$ e quindi l'ordine è $5/2$.
Determinare gli ordini di infinito o infinitesimo con le derivate risulta una grandissima rottura di scatole, perché spesso devi calcolare i limiti delle derivate in quei punti e ciò ti complica la vita. Usare le serie di Taylor, invece, ti semplifica di molto i ragionamenti.
@booleandomain: guarda che hai sbagliato qualcosa nel calcolo del limite, viene $5/2$ anche facendo quello che dici tu.
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+\ldots$ ottieni anche $(e^x-1)^2=(x+x^2/2+x^3/6+\ldots)^2=x^2(1+x/2+x^2/6+\ldots)^2$
da cui
$f(x)=(e^x-1)^2\sqrt{|x|}=|x|^{{1}/{2}}\cdot x^2(1+x/2+x^2/6+\ldots)^2$
e visto che l'espressione tra parentesi tende a $1$ per $x\rightarrow 0$, ottieni che $f(x)\sim |x|^{5/2}$ e quindi l'ordine è $5/2$.
Determinare gli ordini di infinito o infinitesimo con le derivate risulta una grandissima rottura di scatole, perché spesso devi calcolare i limiti delle derivate in quei punti e ciò ti complica la vita. Usare le serie di Taylor, invece, ti semplifica di molto i ragionamenti.
@booleandomain: guarda che hai sbagliato qualcosa nel calcolo del limite, viene $5/2$ anche facendo quello che dici tu.
Ok, il procedimento con Taylor l'ho capito!
Mentre quello con $lim_(x->0) f(x)/x^a$ non riesco a effettuare i passaggi $lim_(x->0) ((e^x-1)^2 sqrt|x|)/x^alpha$ ma non riesco a risolverlo... cioè non riesco nemmeno a fare i passaggi 
Mentre quello con $lim_(x->0) f(x)/x^a$ non riesco a effettuare i passaggi $lim_(x->0) ((e^x-1)^2 sqrt|x|)/x^alpha$ ma non riesco a risolverlo...
cioè non riesco nemmeno a fare i passaggi
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(e^x-1)^2 x^\frac{1}{2}}{x^\alpha}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(1+x+o[x]-1)^2 x^\frac{1}{2}}{x^\alpha}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(x^2+o[x^2])x^\frac{1}{2}}{x^\alpha}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^\frac{5}{2}+o[x^\frac{5}{2}]}{x^\alpha}$ e quindi se $\alpha=\frac{5}{2}$ allora il limite viene 1.
Ok, adesso mi è molto più chiaro anche se dovrò fare esercizio su questo argomento!
Grazie 1000 per le spiegazioni chiare che mi avete dato booleandomain e ciampax!
Grazie 1000 per le spiegazioni chiare che mi avete dato booleandomain e ciampax!
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