Ordine d'infinitesimo e parte principale.
Stavo facendo esercizio per venerdì e mi sono inceppato in questi esercizi: Determinare ordine e parte principale dei seguenti infinitesimi:
$e^x-sinx-cosx$ Questo prob. l'ho capito, ma voglio esser sicuro!!
$e^2x-2sinx-cosx$
$1/cosx-sinx/x$
Grazie infinite a chi mi aiuterà!!
$e^x-sinx-cosx$ Questo prob. l'ho capito, ma voglio esser sicuro!!
$e^2x-2sinx-cosx$
$1/cosx-sinx/x$
Grazie infinite a chi mi aiuterà!!
Risposte
$ e^x - sinx - cosx $ per x che tende a 0, è infinitesimo del secondo ordine rispetto a x , con parte principale : $x^2$.
Procedimento :
$e^x = 1+x+x^2/2$+o($x^2)$
$sinx =x-(x^3/6)+o($x^3)$
$cosx = 1-x^2/2 +o(x^2)$
e quindi l'espressione iniziale diventa : $ x^2 +o(x^2)$
Camillo
Procedimento :
$e^x = 1+x+x^2/2$+o($x^2)$
$sinx =x-(x^3/6)+o($x^3)$
$cosx = 1-x^2/2 +o(x^2)$
e quindi l'espressione iniziale diventa : $ x^2 +o(x^2)$
Camillo
Grazie mille, che diventeranno $10^{1000}$ se risolverai anche gli altri...
Il secondo, se interpreto correttamente , se cioè è :
$ e^(2x)-2sinx-cosx $, in modo del tutto analogo si trova che è infinitesimo del secondo ordine con parte principale : $5x^2/2$.
Il terzo... dopo
Camillo
$ e^(2x)-2sinx-cosx $, in modo del tutto analogo si trova che è infinitesimo del secondo ordine con parte principale : $5x^2/2$.
Il terzo... dopo
Camillo
la x del primo termine non sta all'esponente...
Il terzo :
$(1/cosx)-(sinx/x) $ è infinitesimo del secondo ordine con parte principale : $2x^2/3$
Procedimento :
$ cos x = 1-x^2/2+o(x^2)$
da cui : $1/cosx = 1/(1-x^2/2+o(x^2)) =1+x^2/2+o(x^2)$ ricordando che $1/(1-x) =1+x+o(x)$
$sinx = x-x^3/6+o(x^3) $ e quindi : $sinx/x = 1-x^2/6+o(x^2) $
In conclusione si ha :
$(1/cosx)-(sinx/x) = 1+x^2/2-1+x^2/6+o(x^2) = 2x^2/3 +o(x^2) $.
Camillo
$(1/cosx)-(sinx/x) $ è infinitesimo del secondo ordine con parte principale : $2x^2/3$
Procedimento :
$ cos x = 1-x^2/2+o(x^2)$
da cui : $1/cosx = 1/(1-x^2/2+o(x^2)) =1+x^2/2+o(x^2)$ ricordando che $1/(1-x) =1+x+o(x)$
$sinx = x-x^3/6+o(x^3) $ e quindi : $sinx/x = 1-x^2/6+o(x^2) $
In conclusione si ha :
$(1/cosx)-(sinx/x) = 1+x^2/2-1+x^2/6+o(x^2) = 2x^2/3 +o(x^2) $.
Camillo
Secondo esercizio
Se x non sta all'esponente , quindi è proprio come hai scritto : $(e^2)*x-2sinx-cosx$ allora questa espressione non è un infinitesimo per x che tende a 0 in quanto il limite vale : -1 .
Camillo
Se x non sta all'esponente , quindi è proprio come hai scritto : $(e^2)*x-2sinx-cosx$ allora questa espressione non è un infinitesimo per x che tende a 0 in quanto il limite vale : -1 .
Camillo
Grazi$e^{+\infty}$ Camillo... 
Scusa se approfitto ancora della tua pazienza:
$1/sinx-cosx/x
$1/sinx-cosx/x
Lo modifico così :
$(1/sinx -cosx/x) = (x-sinxcosx)/(xsinx)$ e sfruttando gli stessi sviluppi degli altri esercizi arrivo trovare: $2/3x +o(x)$; quindi infinitesimo del primo ordine con parte principale appunto :$2/3x $.
Camillo
$(1/sinx -cosx/x) = (x-sinxcosx)/(xsinx)$ e sfruttando gli stessi sviluppi degli altri esercizi arrivo trovare: $2/3x +o(x)$; quindi infinitesimo del primo ordine con parte principale appunto :$2/3x $.
Camillo
Potresti mostrarami i passaggi perfavore? Grazie..
Ecco i passaggi : dovrei indicare gli o piccoli ma per semplicità li ometto , diciamo che sono sottintesi dove ci vogliono .
$ (x-sinx*cosx)/(x*sin x) = [x-(x-x^3/6)(1-x^2/2)]/[x(x-x^3/6)] = (2/3x^3-x^5/12)/(x^2-x^4/6)$.
Adesso per x che tende a 0 considero solo gli infinitesimi più significativi e tralascio quelli di ordine superiore e ottengo : $ 2/3x^3/x^2 = 2/3x $.
Camillo
$ (x-sinx*cosx)/(x*sin x) = [x-(x-x^3/6)(1-x^2/2)]/[x(x-x^3/6)] = (2/3x^3-x^5/12)/(x^2-x^4/6)$.
Adesso per x che tende a 0 considero solo gli infinitesimi più significativi e tralascio quelli di ordine superiore e ottengo : $ 2/3x^3/x^2 = 2/3x $.
Camillo
Ok fin qua tutto ok. Ero arrivato proprio qua, ma da qui come faccio a dedurre ordine e parte principale? Avevo provato a dividere per $x^2$.
Infatti se adesso dividi numeratore e denominatore per x^2 ottieni :
$(2/3x-x^3/12)/(1-x^2/6) $
X tende a 0 quindi il denominatore tende a 1 ; nel numeratore quando x tende a 0 la parte -x^3/12 tende a 0 più rapidamente di quanto tenda a 0 la parte 2/3x ( infatti -x^3/12 è infinitesimo di terzo ordine rispetto a 2/3x che è infinitesimo di ordine 1 ) ; quindi posso approssimare la frazione con 2/3 x.
Possiamo dire che -x^3/12 vale già 0, quando ancora non è 0 la parte 2/3x ... beh questo è un po' "pittoresco"
Camillo
$(2/3x-x^3/12)/(1-x^2/6) $
X tende a 0 quindi il denominatore tende a 1 ; nel numeratore quando x tende a 0 la parte -x^3/12 tende a 0 più rapidamente di quanto tenda a 0 la parte 2/3x ( infatti -x^3/12 è infinitesimo di terzo ordine rispetto a 2/3x che è infinitesimo di ordine 1 ) ; quindi posso approssimare la frazione con 2/3 x.
Possiamo dire che -x^3/12 vale già 0, quando ancora non è 0 la parte 2/3x ... beh questo è un po' "pittoresco"
Camillo
Ah ecco, grazie. Adesso credo di aver capito..
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