Ordine di una distribuzione
Salve a tutti, vi propongo questo esercizio:
Dati $ \gamma \in \mathbb{N}^n$, $ a \in \mathbb{Omega}$ (dove $ \Omega \subset \mathbb{R}^n$ aperto) definiamo una distribuzione su $\mathcal{C}^{\infty}_0 (\Omega) $ come segue:
$ = D^{\gamma} \phi (a)$.
Dimostrare che l'ordine della distribuzione è esattamente $|\gamma|$.
Il fatto che sia minore o uguale a $|\gamma|$ è ovvio dalla definizione. Ma l'altra disuguaglianza?
Dati $ \gamma \in \mathbb{N}^n$, $ a \in \mathbb{Omega}$ (dove $ \Omega \subset \mathbb{R}^n$ aperto) definiamo una distribuzione su $\mathcal{C}^{\infty}_0 (\Omega) $ come segue:
$
Dimostrare che l'ordine della distribuzione è esattamente $|\gamma|$.
Il fatto che sia minore o uguale a $|\gamma|$ è ovvio dalla definizione. Ma l'altra disuguaglianza?
Risposte
Ci ricordi la definizione di "ordine"?
Quando si pone una questione del genere, soprattutto riguardante nozioni avanzate, è sempre meglio ricordare al lettore tutto ciò che può essere utile.
Quando si pone una questione del genere, soprattutto riguardante nozioni avanzate, è sempre meglio ricordare al lettore tutto ciò che può essere utile.
Certo, hai ragione 
Una distribuzione ha ordine $p \in \mathbb{N}$ se $p$ è il minimo indice tale che valga la seguente:
$ \forall K \in Omega$ compatto, esiste una $c=c(K)$ tale che $|| \le c $ sup$_{ x \in K, |\alpha| \le p} |D^{\alpha} \phi (x)| , \forall \phi$ a supporto contenuto dentro $K$.
Una distribuzione ha ordine $p \in \mathbb{N}$ se $p$ è il minimo indice tale che valga la seguente:
$ \forall K \in Omega$ compatto, esiste una $c=c(K)$ tale che $|
Effettivamente, che il numero \(|\gamma|\) goda della proprietà indicata è immediato.
D'altra parte, non mi viene in mente come si possa fare a far vedere che \(|\gamma|\) è il più piccolo numero che gode della proprietà indicata.
L'unica idea è che per ogni multiindice \(\alpha\) con \(|\alpha|<|\gamma|\) ed ogni compatto \(K\subset \subset \Omega\) si possa trovare una funzione di \(C_c^\infty (\Omega)\) tale che:
\[
\operatorname{supp} \phi \subseteq K \qquad \text{e} \qquad \| D^\gamma \phi \|_{\infty ,K} > \| D^\alpha \phi\|_{\infty ,K}\; ,
\]
o qualcosa di simile.
D'altra parte, non mi viene in mente come si possa fare a far vedere che \(|\gamma|\) è il più piccolo numero che gode della proprietà indicata.
L'unica idea è che per ogni multiindice \(\alpha\) con \(|\alpha|<|\gamma|\) ed ogni compatto \(K\subset \subset \Omega\) si possa trovare una funzione di \(C_c^\infty (\Omega)\) tale che:
\[
\operatorname{supp} \phi \subseteq K \qquad \text{e} \qquad \| D^\gamma \phi \|_{\infty ,K} > \| D^\alpha \phi\|_{\infty ,K}\; ,
\]
o qualcosa di simile.
Sul Bony, si legge di prendere in considerazione le funzioni (di una variabile)
$ \varphi_{\epsilon}(x) = x^{\alpha} \psi ((x-a)/\epsilon)$ dove $\psi \in \mathcal{C}^{\infty}_0$ è uguale a $1$ identicamente in un intorno di $0$. Ma non riesco a vederlo bene...
$ \varphi_{\epsilon}(x) = x^{\alpha} \psi ((x-a)/\epsilon)$ dove $\psi \in \mathcal{C}^{\infty}_0$ è uguale a $1$ identicamente in un intorno di $0$. Ma non riesco a vederlo bene...
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