Ordine di un infinito/infinitesimo e parte principale
Ciao a tutti,
dovrei risolvere un dubbio riguardo l'ordine di infinitesimi/infiniti e le loro parti principali.
Ho bene in mente il significato di "confronto tra infinitesimi/infiniti" ma capita che il prof mette un esercizio con una sola funzione chiedendone l'ordine e la parte principale.
Per quello che ho potuto capire si puo svolgere in diversi modi tra cui questi 2:
1) Ci sono delle funzioni g(x) standard su cui deve essere fatto il confronto (in case alla funzione data e a cosa tende).
2) Utilizzando lo sviluppo del polinomio di taylor.
Mi hanno anche detto che il secondo procedimento è molto più facile ma puo essere applicato solo agli infinitesimi che tendono a 0.
Ovviamente non sono certo di ciò però vorrei un aiuto per capire come si procede.
La funzione dell'ultimo esame era questa:
$sin(x^3)-sin^3(x)$
Vi chiedo solo di farmi capire i passaggi. Grazie mille
dovrei risolvere un dubbio riguardo l'ordine di infinitesimi/infiniti e le loro parti principali.
Ho bene in mente il significato di "confronto tra infinitesimi/infiniti" ma capita che il prof mette un esercizio con una sola funzione chiedendone l'ordine e la parte principale.
Per quello che ho potuto capire si puo svolgere in diversi modi tra cui questi 2:
1) Ci sono delle funzioni g(x) standard su cui deve essere fatto il confronto (in case alla funzione data e a cosa tende).
2) Utilizzando lo sviluppo del polinomio di taylor.
Mi hanno anche detto che il secondo procedimento è molto più facile ma puo essere applicato solo agli infinitesimi che tendono a 0.
Ovviamente non sono certo di ciò però vorrei un aiuto per capire come si procede.
La funzione dell'ultimo esame era questa:
$sin(x^3)-sin^3(x)$
Vi chiedo solo di farmi capire i passaggi. Grazie mille
Risposte
Utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor vedi quale è il termine di grado più piccolo che non si annulla. Di solito è più facile che calcolare il limite rispetto a funzioni campioni.(non ci sono molti passaggi da far vedere, inizia col fare lo sviluppo) Comunque molta della semplicità di esercizi del genere dipende dall'occhio e dal riuscire a capire all'inizio fino a che grado devi fermarti nello sviluppare.
Ad esempio nel caso specifico io proverei a fermarmi al quarto grado (dato che le x^3 MOLTO PROBABILMENTE andranno via)
$sin(x^3)=x^3+o(x^4)$ e $(sinx)^3=(x-x^3+o(x^4))^3=x^3-(x^4)/3+o(x^4)
quindi
$f=x^3-x^3+(x^4)/3+o(x^4)$: è del quarto ordine e $1/3$ è la sua parte principale.
(se c'è qualcosa non chiaro chiedi pure)
Spero di non aver commesso errori di calcolo o peggio ancora di concetto (magari aspetta qualche conferma più autorevole)
Un saluto
Ad esempio nel caso specifico io proverei a fermarmi al quarto grado (dato che le x^3 MOLTO PROBABILMENTE andranno via)
$sin(x^3)=x^3+o(x^4)$ e $(sinx)^3=(x-x^3+o(x^4))^3=x^3-(x^4)/3+o(x^4)
quindi
$f=x^3-x^3+(x^4)/3+o(x^4)$: è del quarto ordine e $1/3$ è la sua parte principale.
(se c'è qualcosa non chiaro chiedi pure)
Spero di non aver commesso errori di calcolo o peggio ancora di concetto (magari aspetta qualche conferma più autorevole)
Un saluto
Ora proverò a seguire il tuo ragionamento ma comunque questo è un procedimento utilizzabile in qualunque caso o solo se si tratta di un infinitesimo con x che tendo a 0?
se utilizzi gli sviluppi di taylor in zero naturalmente puoi applciarli solo se x tende a zero, ma se hai gli sviluppi di funzioni in un altro punto iniziale il ragionamento è lo stesso. (alla mia facoltà comunque non abbiamo fatto applicazioni di sviluppi diversi da questi in zero).
In generale per tutti i casi si applica la definizione di ordine di infinitesimo. La hai presente o la devo postare?
In generale per tutti i casi si applica la definizione di ordine di infinitesimo. La hai presente o la devo postare?
"Feliciano":
se utilizzi gli sviluppi di taylor in zero naturalmente puoi applciarli solo se x tende a zero, ma se hai gli sviluppi di funzioni in un altro punto iniziale il ragionamento è lo stesso. (alla mia facoltà comunque non abbiamo fatto applicazioni di sviluppi diversi da questi in zero).
In generale per tutti i casi si applica la definizione di ordine di infinitesimo. La hai presente o la devo postare?
Non ho idea di cosa parli.. se la posti ti ringrazio XD
Vorrei anche capire come si deve procedere nel caso non si tratti di un infinitesimo che tende a 0
ci dovrebbe essere quel rapporto tipo $x^a$ o qualcosa del genere.. dove trovo lo schema? 
aiutoooooo
aiutoooooo
(scrivo a memoria quindi fossi in te una controllatina sul libro come conferma la darei)
Una funzione $f(x)$ si dice infinitesima in $x_0$ di ordine a se e solo se (per definizione) per $x> > x_0$ $LIM(f(x))/(x-x_0)^a=l€R$
Ad esempio per vedere l'ordine di infinitesimo di sinx si calcola per$ x >> 0$ $LIM(sinx)/x^a$ e si cerca di capire quale è la a più piccola afinché tale limite risulta finito, ovvero per a=1 il limite fa 1 e quindi l'ordine di infinitesimo è 1
Una funzione $f(x)$ si dice infinitesima in $x_0$ di ordine a se e solo se (per definizione) per $x> > x_0$ $LIM(f(x))/(x-x_0)^a=l€R$
Ad esempio per vedere l'ordine di infinitesimo di sinx si calcola per$ x >> 0$ $LIM(sinx)/x^a$ e si cerca di capire quale è la a più piccola afinché tale limite risulta finito, ovvero per a=1 il limite fa 1 e quindi l'ordine di infinitesimo è 1
capisco.. molto chiaro il procedimento.
L'unica cosa che mi viene dubbia ora è capire se è sempre così che si applica.. cioè io ricordo che si applicavano diverse espressioni in base alla funzione che ci interessa.. in particolare ricordo 4 casi:
Infinitesimo che tende a x0
Infinitesimo che tende ad infinito
Infinito che tende a x0
Infinito che tende ad infinito
Adesso mi pare che $(x-x0)^a$ si applichi nel caso di un infinitesimo che tende a x0 ma rimangono ancora da svelare le altre 3 espressioni..
O sbaglio?
L'unica cosa che mi viene dubbia ora è capire se è sempre così che si applica.. cioè io ricordo che si applicavano diverse espressioni in base alla funzione che ci interessa.. in particolare ricordo 4 casi:
Infinitesimo che tende a x0
Infinitesimo che tende ad infinito
Infinito che tende a x0
Infinito che tende ad infinito
Adesso mi pare che $(x-x0)^a$ si applichi nel caso di un infinitesimo che tende a x0 ma rimangono ancora da svelare le altre 3 espressioni..
O sbaglio?
Giusto
Ma gli altri tre casi io non ne ho mai fatto applicazioni pratiche negli esercizi. Comunque ora controllo io sul libro e vedo che mi dice
Ma gli altri tre casi io non ne ho mai fatto applicazioni pratiche negli esercizi. Comunque ora controllo io sul libro e vedo che mi dice
Ti ringrazio davvero perchè il mio libro proprio non ne parla.. so che il tutor di analisi ha distribuito l'appunto ma io purtroppo non l'ho seguito.. aspetto allora te.. grazie mille!!
Ok.. correggo il post.. ecco cosa ho trovato in rete definitivamente.. aspetto solo una conferma per evitare che ci siano errori:
$lim f(x)/g(x) = l$
INFINITESIMO x-> x0 ALLORA g(x)= $(x-x0)^a$
INFINITESIMO x-> inf ALLORA g(x)= $(1/x)^a$
INFINITO x-> x0 ALLORA g(x)= $1/(x-x0)^a$
INFINITO x-> inf ALLORA g(x)= $x^a$
l'ordine di infinitesimo è dunque "a"
la parte principale è " l*g(x) "
Inoltre nel caso di infinitesimo con x->x0 si puo usare taylor.
Mi confermate tutto?
$lim f(x)/g(x) = l$
INFINITESIMO x-> x0 ALLORA g(x)= $(x-x0)^a$
INFINITESIMO x-> inf ALLORA g(x)= $(1/x)^a$
INFINITO x-> x0 ALLORA g(x)= $1/(x-x0)^a$
INFINITO x-> inf ALLORA g(x)= $x^a$
l'ordine di infinitesimo è dunque "a"
la parte principale è " l*g(x) "
Inoltre nel caso di infinitesimo con x->x0 si puo usare taylor.
Mi confermate tutto?
"Feliciano":
Utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor vedi quale è il termine di grado più piccolo che non si annulla. Di solito è più facile che calcolare il limite rispetto a funzioni campioni.(non ci sono molti passaggi da far vedere, inizia col fare lo sviluppo) Comunque molta della semplicità di esercizi del genere dipende dall'occhio e dal riuscire a capire all'inizio fino a che grado devi fermarti nello sviluppare.
Ad esempio nel caso specifico io proverei a fermarmi al quarto grado (dato che le x^3 MOLTO PROBABILMENTE andranno via)
$sin(x^3)=x^3+o(x^4)$ e $(sinx)^3=(x-x^3+o(x^4))^3=x^3-(x^4)/3+o(x^4)
quindi
$f=x^3-x^3+(x^4)/3+o(x^4)$: è del quarto ordine e $1/3$ è la sua parte principale.
(se c'è qualcosa non chiaro chiedi pure)
Spero di non aver commesso errori di calcolo o peggio ancora di concetto (magari aspetta qualche conferma più autorevole)
Un saluto
Sto cercando di capire il metodo utilizzato qui sopra ma ho qualche difficoltà.. in particolare so che la formula di taylor finisce con:
$o(x^(2n+2))$ nel caso di seno.. ma non capisco da dove prendere n
So che è una domanda banale ma purtroppo il mio libro non ne parla e su internet non riesco a trovarlo.
Grazie anticipatamente per le risposte
Risolto.. ho incontrato un collega e mi ha spiegato tutto.. certo un po complicato da spiegare via forum, ma di presenza risulta essere una cosa semplice.
Grazie cmq a tutti ciao
Grazie cmq a tutti ciao
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