Ordine di un infinitesimo
Salve, mi potreste spiegare il procedimento per calcolare l'ordine di un infinitesimo con la formula di Taylor ?
Dovrei calcolare l'ordine di y=log(1+x^29-x-x^2+sinx e y=sinx^2+2cosx-2,ho provato ma inutilmente. Grazie
Dovrei calcolare l'ordine di y=log(1+x^29-x-x^2+sinx e y=sinx^2+2cosx-2,ho provato ma inutilmente. Grazie
Risposte
La prima va a 0 come $-x^2$, infatti per $x->0$ si ha:
$log(1+x^29-x-x^2+sinx) = (x^29 - x - x^2 + sinx)(1+o(1)) = - x - x^2 + x + o(x^2) = -x^2(1+o(1))$
La seconda va a 0 come $x^4/12$, infatti per $x->0$:
$sin(x^2)+2cosx-2 = x^2 + o(x^4) + 2(cosx - 1) =x^2+o(x^4)+2(-x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)) = x^4/12 (1+o(1))
Quindi la prima per $x->0$ è infinitesima di ordine 2, la seconda di ordine 4.
$log(1+x^29-x-x^2+sinx) = (x^29 - x - x^2 + sinx)(1+o(1)) = - x - x^2 + x + o(x^2) = -x^2(1+o(1))$
La seconda va a 0 come $x^4/12$, infatti per $x->0$:
$sin(x^2)+2cosx-2 = x^2 + o(x^4) + 2(cosx - 1) =x^2+o(x^4)+2(-x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)) = x^4/12 (1+o(1))
Quindi la prima per $x->0$ è infinitesima di ordine 2, la seconda di ordine 4.
@fireball:
Ciao e auguri, di corsa, prima che sparisci di nuovo per qualche mese!
Ciao e auguri, di corsa, prima che sparisci di nuovo per qualche mese!
Salve ,grazie per la risposta ma ho sbagliato la prima funzione che ,invece,
è:
y=log(1+x^2)-x-x^2+senx
Approfitto per chiedere un'altra cosa: come posso trovare il carattere delle seguenti serie di termine generale:
a(n)= (n n^(1/2)+1)/(n^2+3n+1)
a(n)=(2n/(2n+1))^(n^2)
La seconda ho provato con il confronto e applicando alla serie di confronto il criterio della radice ma non so se ho fatto bene ,il risultato è strano
Vi ringrazio tantissimo
è:
y=log(1+x^2)-x-x^2+senx
Approfitto per chiedere un'altra cosa: come posso trovare il carattere delle seguenti serie di termine generale:
a(n)= (n n^(1/2)+1)/(n^2+3n+1)
a(n)=(2n/(2n+1))^(n^2)
La seconda ho provato con il confronto e applicando alla serie di confronto il criterio della radice ma non so se ho fatto bene ,il risultato è strano
Vi ringrazio tantissimo
"Fioravante Patrone":
@fireball:
Ciao e auguri, di corsa, prima che sparisci di nuovo per qualche mese!
Grazie Fioravante!
Pare che la mia presenza sia diventata una specie di avvenimento
@maria60
per $x->0$ (occorre sviluppare fino al terz'ordine):
$log(1+x^2)-x-x^2+sinx = x^2 +o(x^3) - x - x^2 + x -x^3/6 + o(x^3) = -x^3/6 + o(x^3) = -x^3/6(1+o(1))
quindi infinitesimo di ordine 3.
Ciao, non riesco a capire perchè nello sviluppo di log(1+x^2) c'è o(x^3) così come anche in senx. Grazie.
"maria60":
Ciao, non riesco a capire perchè nello sviluppo di log(1+x^2) c'è o(x^3) così come anche in senx. Grazie.
Cosa ci trovi di strano? Ovvero, cosa ci dovrebbe essere secondo te?
Hai provato a fare le derivate fino alla terza?
Salve, applicando la formula generale mi trovo , è giusto, ma applicando la formula specifica no , mi spiego :
per il seno ho senx= x+.......+(-1)x^(2n+1)/(2n+1)! +o(x^(2n+2)) quindi l'ordine dell'infinitesimo sarebbe sempre pari ,nel caso di uno sviluppo di ordine 3 sarebbe 4.
log(x+1)= x+.......+(-1)x^n/n +o(x^n) per ottenere log(1+x^2) ho sostituito x con x^2 ottenendo x^2- x^4+0(x^4) (ad esempio), è sicuramente sbagliato , non va bene sostituire vero? Riguardo al primo esercizio cosa è sbagliato?
Grazie ancora
per il seno ho senx= x+.......+(-1)x^(2n+1)/(2n+1)! +o(x^(2n+2)) quindi l'ordine dell'infinitesimo sarebbe sempre pari ,nel caso di uno sviluppo di ordine 3 sarebbe 4.
log(x+1)= x+.......+(-1)x^n/n +o(x^n) per ottenere log(1+x^2) ho sostituito x con x^2 ottenendo x^2- x^4+0(x^4) (ad esempio), è sicuramente sbagliato , non va bene sostituire vero? Riguardo al primo esercizio cosa è sbagliato?
Grazie ancora
PS. Per quanto riguarda le serie di cui prima ho provato con il "criterio dell'ordine dell'infinitesimo", riuscendo così a risolvere. Pensate sia coretto utilizzare questo procedimento? potremmo applicare il metodo del confronto asintottico? ce ne sono d alternativi..? ancora grazieee!!!!
"fireball":
@maria60
per $x->0$ (occorre sviluppare fino al terz'ordine):
$log(1+x^2)-x-x^2+sinx = x^2 +o(x^3) - x - x^2 + x -x^3/6 + o(x^3) = -x^3/6 + o(x^3) = -x^3/6(1+o(1))
quindi infinitesimo di ordine 3.
Quando qui ho detto che occorre scrivere il polinomio di Taylor di grado (almeno) 3, intendevo dire che se ci fossimo fermati al secondo
ordine nello sviluppo, non avremmo avuto informazioni precise sull'ordine di infinitesimo, infatti avremmo ottenuto semplicemente
$o(x^2)$ (dato che tutto il resto si semplifica), che significa che, per $x->0$, la funzione va a 0 più velocemente di $x^2$,
quindi vuol dire che l'ordine di infinitesimo è MAGGIORE di 2, ma ancora non sappiamo esattamente qual è. E' per questo che ho detto che occorre sviluppare fino al terzo ordine!
L'ordine di infinitesimo NON può dipendere da dove mi fermo nello sviluppo di Taylor! Non ti sembra un po' assurda come cosa?
Il seno va a 0 come x, quando $x->0$, quindi è un infinitesimo di ordine 1, proprio perche' il famoso limite per $x->0$ di $(sinx)/x$ è 1 (numero finito e diverso da 0).
Secondo il tuo ragionamento, a seconda di dove mi fermo nello sviluppo del seno ho un ordine di infinitesimo diverso...
Nel caso particolare di quest'esercizio, l'ordine di infinitesimo preciso lo sapremo solo se arrestiamo lo sviluppo di Taylor ad un ordine maggiore di 2.
Se ci fermiamo al terz'ordine, infatti, abbiamo una costante per $x^3$ più $o(x^3)$ cioè, una costante per $x^3$ più termini
che vanno a 0 più velocemente di $x^3$. In una somma di infinitesimi, quello che "vince" su tutti è quello di ordine minore, quindi in questo caso 3,
perché $o(x^3)$ sono termini che vanno a 0 più veloce di $x^3$...
Se, fermandoci al terzo ordine, avessimo ottenuto come risultato $o(x^3)$, avremmo dovuto fare un passo ulteriore e fermarci al quart'ordine e così via,
finché non avremmo ottenuto una costante per $x^n$, PIU' $o(x^n)$, dove n è l'ordine a cui ci siamo fermati alla fine, che quindi coincide con l'ordine di infinitesimo.
Altro esempio: se fai il limite per $x->0$ di $(2(x+x^3))/(x)$ questo non viene 2? E viene 2 proprio perché il numeratore va a 0 come $2x$ e non come $2x^3$, infatti
mettendo in evidenza $2x$ ottieni $(2x(1+x^2))/x$ che per $x->0$ tende banalmente a 2 (numero finito e diverso da 0),
e proprio per questo $2(x+x^3)$ è un infinitesimo di ordine 1 quando $x->0$.
Non so se mi sono spiegato...
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