Ordine di infinito e di infinitesimo
Salve,
Mi sono accorto di avere parecchi dubbi nello stabilire l'ordine di infinito e/o di infinitesimo di alcune funzioni quale ad esempio
$\frac{1}{x\sqrt (x+1)}$ come faccio a capire per $x\to 0$ di che ordine è tale infinito?
Mi sono accorto di avere parecchi dubbi nello stabilire l'ordine di infinito e/o di infinitesimo di alcune funzioni quale ad esempio
$\frac{1}{x\sqrt (x+1)}$ come faccio a capire per $x\to 0$ di che ordine è tale infinito?
Risposte
Devi vedere come va a 0 il denominatore... In questo caso va a 0 come x, quindi è di ordine 1.
"fireball":
Devi vedere come va a 0 il denominatore... In questo caso va a 0 come x, quindi è di ordine 1.
non capisco quest'affermazione.
Ti faccio un esempio. Mettiamo di voler determinare l'ordine di infinito di [tex]$\frac{1}{\sin x\left(1-\cos x\right)}[/tex] per [tex]x\to0[/tex].
Allora, per [tex]x\to0[/tex] abbiamo:
[tex]\sin x(1-\cos x)=\frac{x^3}{2}(1+o(1))[/tex]
Questa cosa (mi sono servito degli sviluppi di Taylor per scriverla) significa che [tex]$\lim_{x\to0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\frac{x^3}{2}}=1[/tex],
e quindi che primo e secondo membro intorno a 0 sono uguali a meno di infinitesimi di ordine strettamente superiore a 3.
Quindi l'ordine di infinito della funzione iniziale è 3.
Nel tuo esercizio semplicemente si ha [tex]x\sqrt{x+1}=x(1+o(1))[/tex] per [tex]x\to0[/tex], quindi va come [tex]x^1[/tex], cioè x, quindi l'ordine di infinitesimo è 1,
quindi l'ordine di INFINITO di [tex]\frac{1}{x\sqrt{x+1}}[/tex] è 1. Chiaro più o meno?
Allora, per [tex]x\to0[/tex] abbiamo:
[tex]\sin x(1-\cos x)=\frac{x^3}{2}(1+o(1))[/tex]
Questa cosa (mi sono servito degli sviluppi di Taylor per scriverla) significa che [tex]$\lim_{x\to0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\frac{x^3}{2}}=1[/tex],
e quindi che primo e secondo membro intorno a 0 sono uguali a meno di infinitesimi di ordine strettamente superiore a 3.
Quindi l'ordine di infinito della funzione iniziale è 3.
Nel tuo esercizio semplicemente si ha [tex]x\sqrt{x+1}=x(1+o(1))[/tex] per [tex]x\to0[/tex], quindi va come [tex]x^1[/tex], cioè x, quindi l'ordine di infinitesimo è 1,
quindi l'ordine di INFINITO di [tex]\frac{1}{x\sqrt{x+1}}[/tex] è 1. Chiaro più o meno?
Credo di si. Sarebbe quindi in forza del fatto $\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x\sqrt (x+1)}}{\frac{1}{x}}=1$ giusto?
Esatto.
Per queste cose conviene molto usare la notazione di Landau (i famosi "o piccoli"). Infatti ci sono due modi equivalenti per dire che $f(x)->l$, dove l è il limite per $x->x_0$
(eventualmente può essere anche $x_0=\pm oo$). Uno è scrivere $lim_(x->x_0) f(x) = l$, l'altro è scrivere $f(x)=l+o(1)$ per $x->x_0$, dove $o(1)$ indica un qualunque
infinitesimo per $x->x_0$. In questo caso basta scrivere $xsqrt(x+1)$ come x per qualche cosa che tende a 1 (quale è $sqrt(x+1)$) e pertanto $xsqrt(x+1) = x(1+o(1))$ per $x->0$.
(eventualmente può essere anche $x_0=\pm oo$). Uno è scrivere $lim_(x->x_0) f(x) = l$, l'altro è scrivere $f(x)=l+o(1)$ per $x->x_0$, dove $o(1)$ indica un qualunque
infinitesimo per $x->x_0$. In questo caso basta scrivere $xsqrt(x+1)$ come x per qualche cosa che tende a 1 (quale è $sqrt(x+1)$) e pertanto $xsqrt(x+1) = x(1+o(1))$ per $x->0$.
Mentre se volessi sapere l'ordine di infinitesimo per $x\to +\infty$ potrei dire che la funzione è infinitesima di ordine $3/2$. Ho azzeccato?
Sì. 
Ok. Grazie 
Piccolo dubbio: Ma se la funzione risulta essere per $x\to 0$ il prodotto di una funzione limitata per un infinitesimo ( e quindi infinitesima anch'essa) come ordine di infinitesimo si considera quello del fattore infinitesimo?
Per rendere più chiara la mia domanda, poniamo di avere $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$. Per $x\to 0$ l'ordine di infinitesimo di $f(x)$ è uguale a $1$ ?
Per rendere più chiara la mia domanda, poniamo di avere $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$. Per $x\to 0$ l'ordine di infinitesimo di $f(x)$ è uguale a $1$ ?
No, in questo caso l'ordine di infinitesimo non esiste.
Non è uno perché se fai il limite del rapporto tra quella $f(x)$ e x, tale limite non esiste.
Non è uno perché se fai il limite del rapporto tra quella $f(x)$ e x, tale limite non esiste.
Ho un dubbio:
ma tipo $\frac{1}{e^{\ln^{2} x}}$ per $x\to +\infty$ sarebbe un infinitesimo del secondo ordine?
ma tipo $\frac{1}{e^{\ln^{2} x}}$ per $x\to +\infty$ sarebbe un infinitesimo del secondo ordine?
No; calcola il limite del rapporto tra quella funzione e $1/x^2$ e te ne accorgerai.
Direi che $1/(e^(ln^2 x)) = o(1/x^(lambda)) quad forall lambda > 0$.
Direi che $1/(e^(ln^2 x)) = o(1/x^(lambda)) quad forall lambda > 0$.
quindi non ha un ordine, o sbaglio?
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