Ordine di infinito

[mate_1987]

Salve a tutti!

ho un dubbio riguardo gli ordini di infinito, e spero in un vostro chiarimento

so che, considerando gli ordini, abbiamo $log(n) < n^{a} < c^{n} < n! < n^{n}$. Il mio dubbio è se considero le composte di queste funzioni, cioè se ad esempio ho il confronto tra $n$ e $log n^{n}$, qual è l'infinito più grande?io credo che sia ancora $n$, ma non ne sono certa...
vi ringrazio in anticipo!

ciao!

[Rigel1]

$\log(n^n) = n\log n$ tende a infinito più rapidamente di $n$.
In generale sulle composizioni non ci sono regole fisse, devi vedere cosa viene.

[mate_1987]

in questo caso è chiaro!
in un altro esercizio ho trovato che il limite di $\frac{log n!}{log n^{n}}$ è 1, ma non riesco a capire perchè......all'inizio avevo pensato che poichè $log n^{n} = n log n$, doveva "vincere" $log n!$, ma a quanto pare sbagliavo

[Rigel1]

Poiché $n! < n^n$ per ogni $n\ge 2$, è chiaro che quella frazione è $<1$ per ogni $n\ge 2$, quindi non può "vincere" $\log(n!)$.
Per fare il limite della frazione da te proposta, probabilmente il modo più rapido è utilizzare la formula di Stirling.

[mate_1987]

grazie!