Ordine di infinito
Ciao a tutti, avrei un dubbio su come trovare l'ordine di infinito della seguente funzione:
$f(t) = (log(1-t))/((t^2+1)arctan(t(sqrt(t))^3))$
Dentro $arctan$ c'è radice cubica di t(non sono riuscito a metterla nella forma corretta ma dovrebbe capirsi).
Il limite di $f(t)$ per t che tende a 0 fa +infinito e il libro mi dice direttamente che l'ordine di infinito è $1/3$ senza fare alcun passaggio(al che ho pensato che forse c'è un modo più veloce del mio per trovarlo).
Io so che per trovare l'ordine di infinito devo prendere l'infinito campione, elevarlo ad una potenza c t.c. il limite mi dia un numero reale diverso da 0.Così facendo ho che c è il mio ordine di infinito.
Mi verrebbe quindi:
lim t-->0 di $(log(1-t))/((t^2+1)arctan(t(sqrt(t))^3)x^c$
Ma verrebbe una cosa troppo lunga da fare.
Ho pensato di prende come infinito campione direttamente $1/(((t^2+1)arctan(t(sqrt(t))^3))$
Ma non capisco il metodo per trovare 1/3,potreste aiutarmi dandomi l'algoritmo giusto?
$f(t) = (log(1-t))/((t^2+1)arctan(t(sqrt(t))^3))$
Dentro $arctan$ c'è radice cubica di t(non sono riuscito a metterla nella forma corretta ma dovrebbe capirsi).
Il limite di $f(t)$ per t che tende a 0 fa +infinito e il libro mi dice direttamente che l'ordine di infinito è $1/3$ senza fare alcun passaggio(al che ho pensato che forse c'è un modo più veloce del mio per trovarlo).
Io so che per trovare l'ordine di infinito devo prendere l'infinito campione, elevarlo ad una potenza c t.c. il limite mi dia un numero reale diverso da 0.Così facendo ho che c è il mio ordine di infinito.
Mi verrebbe quindi:
lim t-->0 di $(log(1-t))/((t^2+1)arctan(t(sqrt(t))^3)x^c$
Ma verrebbe una cosa troppo lunga da fare.
Ho pensato di prende come infinito campione direttamente $1/(((t^2+1)arctan(t(sqrt(t))^3))$
Ma non capisco il metodo per trovare 1/3,potreste aiutarmi dandomi l'algoritmo giusto?
Risposte
Ciao Ale112,
Non sono sicuro di aver capito bene qual è la funzione corretta, per cui prima di risponderti nel dubbio te la riscrivo per avere conferma:
$ f(t) = (log(1-t))/((t^2+1)arctan(t root[3]{t}) $
Di tale $f(t) $ sei interessato a sapere cosa accade quando $t \to 0 $?
Non sono sicuro di aver capito bene qual è la funzione corretta, per cui prima di risponderti nel dubbio te la riscrivo per avere conferma:
$ f(t) = (log(1-t))/((t^2+1)arctan(t root[3]{t}) $
Di tale $f(t) $ sei interessato a sapere cosa accade quando $t \to 0 $?
Ciao, la funzione che hai scritto è corretta. Mi servirebbe sapere un metodo veloce per trovare il suo ordine di infinito per t che tende a 0(il limite so già che è +infinito).
Beh, si ha:
$ \lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{t \to 0} (log(1-t))/((t^2+1)arctan(t root[3]{t})) = $
$ = - \lim_{t \to 0} (log(1-t))/(-t) \cdot 1/(t^2+1) \cdot (t root[3]{t})/(arctan(t root[3]{t})) \cdot 1/(root[3]{t}) = $
$ = - \lim_{t \to 0} (log(1-t))/(-t) \cdot \lim_{t \to 0} 1/(t^2+1) \cdot \lim_{t \to 0} (t root[3]{t})/(arctan(t root[3]{t})) \cdot \lim_{t \to 0} 1/(root[3]{t}) $
Tutti i limiti hanno un risultato finito non nullo tranne l'ultimo, per cui il limite proposto va all'infinito come ci va l'ultimo limite scritto.
$ \lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{t \to 0} (log(1-t))/((t^2+1)arctan(t root[3]{t})) = $
$ = - \lim_{t \to 0} (log(1-t))/(-t) \cdot 1/(t^2+1) \cdot (t root[3]{t})/(arctan(t root[3]{t})) \cdot 1/(root[3]{t}) = $
$ = - \lim_{t \to 0} (log(1-t))/(-t) \cdot \lim_{t \to 0} 1/(t^2+1) \cdot \lim_{t \to 0} (t root[3]{t})/(arctan(t root[3]{t})) \cdot \lim_{t \to 0} 1/(root[3]{t}) $
Tutti i limiti hanno un risultato finito non nullo tranne l'ultimo, per cui il limite proposto va all'infinito come ci va l'ultimo limite scritto.
Grazie,ho capito.
Quindi in generale mi conviene spezzare la funzione e vedere qual è la parte che diverge?
Quindi in generale mi conviene spezzare la funzione e vedere qual è la parte che diverge?
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