Ordine di infinitesimo/limite funzione

[MatPag96]

Buonasera a tutti, ennesimo problema nella risoluzione di un esercizio..
Devo trovare l'ordine di infinitesimo di:
$ 2^(x^2 -x) - 2^x + 2xlog2 + x^3sen1/x $
E successivamente calcolare il limite seguente:
$ (2^(x^2 -x) - 2^x + 2xlog2 + x^3sen1/x)/(sen(alpha x^2) + (cosx - 1)^2 + e^(-3/x^2)) $
Il tutto per x che tenda a 0+

Per calcolare l'ordine di infinitesimo pensavo che dividendo tutto per x e ottenendo 2log2, avessi trovato l'ordine di infinitesimo, in questo caso 1, ma la soluzione da 2 quindi evidentemente non è corretto..

[francicko]

$(2^(x^2-x)-2^x+2xlog2+x^3sin(1/x))$ $=(e^(log2 ×(x^2-x))-e^(xlog2)+2xlog2+x^3sin (1/x) )$ $~(1+x^2log2-xlog2-1-xlog2+2xlog2+x^3sin (1/x))$, quindi alcuni termini si elidono e resta $x^2log2+x^3sin (1/x) $, a questo punto trovandoci di fronte ad una somma , ed essendo che il termine in $x^2$ nella somma e' quello che tende a zero meno velocemente, e quindi predominante, direi che l'ordine di infinitesimo e' $2$.

[MatPag96]

Non capisco un passaggio, come passi da $ 2^(x^2 - x) $ a $ e^(log2x(x^2 - x)) $ ?
Intendevi forse $ e^(log2(x^2 - x)) $ ?

[francicko]

$2=e^(log2)$, quindi $2^((x^2-x ))=(e^(log2))^((x^2-x)) $ $=e^(((x^2-x)×(log2))) ~(1+(x^2-x)×log2)$;
Per quanto riguarda il calcolo del limite, a denominatore hai un esponenziale $1/e^(3/x^2)~1/e^(infty)=0$ quindi tende a zero molto più velocemente rispetto agli altri termini pertanto nella somma e' trascurabile;
$(cosx-1)=sqrt (1-sin^2 (x))-1~(sqrt (1-x^2)-1)~(1-x^2/2-1)=-x^2/2$
quindi $(cosx-1)^2~(-x^2/2)^2=x^4/4$
inoltre
$sin ((alpha)x^2)~(alpha)x^2$,
pertanto a denominatore l'infinitesimo predominante e' $(alpha)x^2$ ed $lim_(x->0)(x^2log2)/((alpha)x^2)=log2/(alpha) $