Ordine di infinitesimo/infinito (esercizi)
Ciao a tutti
ho dei dubbi riguardanti la determinazione dell'ordine di infinito/infinitesimo di una successione. Vi posto un esercizio che ho svolto per vedere dove sbaglio (NB siccome non so come si fa il pedice denoto la successione con a)
Mi viene chiesto di calcolare l'ordine di infinitesimo della successione $ a=log(1+1/n)+2cos(1/n)-e^(1/n)-1 $ rispetto a $ 1/n $ (logicamente per $ n -> +oo $ ).
Per prima cosa noto che:
$ log(1+1/n)=1/n+o(1/n) $
$ cos(1/n)=1+o(1/n) $
$ e^(1/n)=1+o(1/n) $
A questo punto sostituisco e ottengo $ a=1/n+o(1/n) $ E qui il primo dubbio: sapendo che se una successione a è asintotica a un'altra successione b $ rArr $ $ a=b+o(b) $, vale anche l'implicazione opposta? A me da questo risultato verrebbe da dire che l'ordine di infinitesimo è 1, ma, ahimè, so che il risultato deve essere due. A questo punto uso lo svilupppo di McLaurin per dire che:
$ log(1+1/n)=1/n+1/2*1/n^2+o(1/n^2) $
$ cos(1/n)=1+1/2*1/n^2+o(1/n^2)$
$ e^(1/n)=1+1/n+1/2*1/n^2+o(1/n^2) $
Sostituisco ancora una volta e ottengo $ a=1/n^2+o(1/n^2) $ Questa volta posso dire che l'infinitesimo è di ordine 2? Però c'è qualcosa che non quadra, perchè se così fosse avrei potuto dirlo anche prima.
Inoltre ho ancora qualche dubbio, questa volta sulla metodologia in generale. Ad esempio:
1) Quando ho una successione (o funzione) devo sviluppare tutto ciò che posso sviluppare allo stesso ordine o dipende da qualcosa?
2) Come faccio a sapere a che ordine mi devo arrestare?
3) Visto che l'ordine è 2, non dovrei avere $ lim_(n -> +oo ) a/(1/n^2) = l in RR $ ? A me viene + $ oo $
Vi ringrazio per l'aiuto.
ho dei dubbi riguardanti la determinazione dell'ordine di infinito/infinitesimo di una successione. Vi posto un esercizio che ho svolto per vedere dove sbaglio (NB siccome non so come si fa il pedice denoto la successione con a)
Mi viene chiesto di calcolare l'ordine di infinitesimo della successione $ a=log(1+1/n)+2cos(1/n)-e^(1/n)-1 $ rispetto a $ 1/n $ (logicamente per $ n -> +oo $ ).
Per prima cosa noto che:
$ log(1+1/n)=1/n+o(1/n) $
$ cos(1/n)=1+o(1/n) $
$ e^(1/n)=1+o(1/n) $
A questo punto sostituisco e ottengo $ a=1/n+o(1/n) $ E qui il primo dubbio: sapendo che se una successione a è asintotica a un'altra successione b $ rArr $ $ a=b+o(b) $, vale anche l'implicazione opposta? A me da questo risultato verrebbe da dire che l'ordine di infinitesimo è 1, ma, ahimè, so che il risultato deve essere due. A questo punto uso lo svilupppo di McLaurin per dire che:
$ log(1+1/n)=1/n+1/2*1/n^2+o(1/n^2) $
$ cos(1/n)=1+1/2*1/n^2+o(1/n^2)$
$ e^(1/n)=1+1/n+1/2*1/n^2+o(1/n^2) $
Sostituisco ancora una volta e ottengo $ a=1/n^2+o(1/n^2) $ Questa volta posso dire che l'infinitesimo è di ordine 2? Però c'è qualcosa che non quadra, perchè se così fosse avrei potuto dirlo anche prima.
Inoltre ho ancora qualche dubbio, questa volta sulla metodologia in generale. Ad esempio:
1) Quando ho una successione (o funzione) devo sviluppare tutto ciò che posso sviluppare allo stesso ordine o dipende da qualcosa?
2) Come faccio a sapere a che ordine mi devo arrestare?
3) Visto che l'ordine è 2, non dovrei avere $ lim_(n -> +oo ) a/(1/n^2) = l in RR $ ? A me viene + $ oo $
Vi ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Mmmm, penso di aver capito l'errore. Prima di tutto è sbagliato lo sviluppo iniziale di $ cos(1/n) $. Detto ciò, la successione con gli sviluppi iniziali dovrebbe essere (con lo sviluppo del coseno secondo McLaurin arrestato al secondo ordine) $ a=1/n-1/n^2+o(1/n)+o(1/n^2) $ Ancora non posso dire nulla perchè ho due o-piccoli. Però non mi è chiara una cosa: qualsiasi cosa siano gli o-piccoli, non dovrebbe essere $ 1/n $ l'infinitesimo di ordine inferiore, e quindi $ a ~ 1/n $ ?
Allora sviluppo come prima (mi accorgo solo ora di aver sbagliato due segni), ottenendo $ a=-3/(2n^2)+o(1/n^2) $ che è asintotica a $ -3/(2n^2) $ in quanto l'o-piccolo in questione è sicuramente di ordine superiore al secondo. Quindi la successione a è di ordine 2. A questo punto il limite del post precedente dovrebbe essere $ -3/2 $, quindi almeno quel dubbio è risolto.
Allora sviluppo come prima (mi accorgo solo ora di aver sbagliato due segni), ottenendo $ a=-3/(2n^2)+o(1/n^2) $ che è asintotica a $ -3/(2n^2) $ in quanto l'o-piccolo in questione è sicuramente di ordine superiore al secondo. Quindi la successione a è di ordine 2. A questo punto il limite del post precedente dovrebbe essere $ -3/2 $, quindi almeno quel dubbio è risolto.
Siccome stai considerando una somma di successioni, l'ordine al quale sviluppi deve essere lo stesso (oltre che corretto:-)) per tutte le funzioni, altrimenti, se per una funzione fissi un margine di errore, e per un'altra un altro, finisci col cancellare uno dei due, capito? Devi sviluppare innanzitutto tutto allo stesso grado.
Ok, questo spiega perfettamente i problemi del mio ultimo post. Ti ringrazio 
(e mi scuso per gli errori)
(e mi scuso per gli errori)
"bruttabestia":
Ok, questo spiega perfettamente i problemi del mio ultimo post. Ti ringrazio
Beh, tutti sbagliano, compreso io
Già che ci sono vi chiedo dove sbaglio nel risolvere questo limite
$ lim_(x -> +oo ) e^(2x)(1-2/x)^(x^2) $
Allora:
$ f(x)=e^(2x)e^(x^2log(1-2/x)) $
Ora esaminiamo il secondo esponente:
$ x^2log(1-2/x)~x^2(-2/x)=-2x $
Quindi
$ f(x)~e^(2x)e^(-2x)->1 $
Però il risultato dovrebbe essere $ e^(-2) $. Dove sbaglio?
$ lim_(x -> +oo ) e^(2x)(1-2/x)^(x^2) $
Allora:
$ f(x)=e^(2x)e^(x^2log(1-2/x)) $
Ora esaminiamo il secondo esponente:
$ x^2log(1-2/x)~x^2(-2/x)=-2x $
Quindi
$ f(x)~e^(2x)e^(-2x)->1 $
Però il risultato dovrebbe essere $ e^(-2) $. Dove sbaglio?
Capito l'errore. Se $ f(x) ~ h(x) $ , ciò non implica $ e^(f(x)) ~ e^(h(x)) $
E con questo chiudo. Grazie ancora per l'aiuto
E con questo chiudo. Grazie ancora per l'aiuto
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