Ordine di infinitesimo, infinito e convergenza

[Ianya]

Ciao!
Dovrei determinare l'ordine di infinitesimo per $x->0$ e di infinito per $x->+infty$ della funzione $f(x)=sin(2xcos(x))-2x$ e studiare la convergenza dell'integrale improprio $\int_{0}^{+infty} f(x)/x^3 dx$
Per quanto riguarda l'ordine di infitesimo, invece di utilizzare lo sviluppo in serie di Mc Laurin, posso considerare il $lim_(x->0)(f(x)/|x|^n)$ e determinare n tale che il limite non sia nullo?
Per quanto riguarda il resto dell'esercizio, non saprei come procedere. Potreste darmi una mano?

[Noisemaker]

Per la seconda parte, si tratta di studiare l'integrale improprio
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\left(2x\cos x\right)-2x}{x^3};\]
osservato che la funzione integranda è definita per $x\ne0,$ e risulta sempre negativa nell'intervallo d'integrazione, in quanto se $x>0$ si ha
\[ \sin\left(2x\cos x\right) -2x< 2x\cos x -2x<0,\]
possiamo applicare il confronto asintotico: quando $x\to0$ si ha
\begin{align}
\frac{\sin\left(2x\cos x\right)-2x}{x^3}&\stackrel{\bf(T)}{=}\frac{ \left(2x\cos x-\frac{(2x\cos x)^3}{3!}+o(x^3)\right) -2x}{x^3} \\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\frac{ \left[2x\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)-\frac{1}{3!}\cdot\left[ 2x\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)\right]^3 +o(x^3)\right] -2x}{x^3}\\
=&\frac{2x-x^3-\frac{8}{6}x^3-2x+o(x^3)}{x^3}=-7/3\to\mbox{converge in quanto continua;}
\end{align}
quando $x\to+\infty$
\begin{align}
\frac{\sin\left(2x\cos x\right)-2x}{x^3}=\frac{\sin\left(2x\cos x\right) }{x^3}-\frac{ 2x}{x^3}\le\frac{1}{x^3}-\frac{ 2 }{x^2}\sim-\frac{ 2 }{x^2}\to \mbox{converge.}
\end{align}