Ordine di infinitesimo e limiti..
Devo calcolare questo limite (me l'ha inviato un compagno di corso) (senza fare ricorso al calcolo differenziale, ma soltanto al massimo (ma se si può fare senza non è necessario) agli sviluppi asintotici delle funzioni):
$ lim_(x -> +oo) ((pi - 2*arctan(x))) / (2/x) $
Il risultato è 1, e per arrivarci bisogna prima dimostrare che il numeratore è asintotico al denominatore, ma come si fa?
Io ho provato a confrontare il numeratore con $ L / x^alpha $ , ma per distinguere tutti i casi di $ alpha $ bisognerebbe già sapere risolvere quel limite in altro modo..
Help, vi prego, sto impazzendo!
Grazie mille a chiunque vorrà aiutarmi!
$ lim_(x -> +oo) ((pi - 2*arctan(x))) / (2/x) $
Il risultato è 1, e per arrivarci bisogna prima dimostrare che il numeratore è asintotico al denominatore, ma come si fa?
Io ho provato a confrontare il numeratore con $ L / x^alpha $ , ma per distinguere tutti i casi di $ alpha $ bisognerebbe già sapere risolvere quel limite in altro modo..
Help, vi prego, sto impazzendo!
Grazie mille a chiunque vorrà aiutarmi!
Risposte
non sono molto convinto del fatto che debba venire 1 come risultato (a prima vista), una cosa sicura che puoi fare è stimare la funzione $arctg(x)$, in quanto dal grafico dell'arcotangente puoi notare che $|arctg(x)|<\pi/2$ e quindi basta che sostituisci nel limite.
Il risultato l'ho controllato con Derive, con Matlab e con la calcolatrice grafica (più sicuro di così! 
)..
Però, scusami, non ho ben capito il tuo ragionamento.. Dopo che so che il modulo dell'arctan è minore di pi/2 come lo sostituisco nel limite per arrivare a 1?
)..Però, scusami, non ho ben capito il tuo ragionamento.. Dopo che so che il modulo dell'arctan è minore di pi/2 come lo sostituisco nel limite per arrivare a 1?
è come se stessi effettuando una maggiorazione. La funzione arcotangente è limitata e quindi può essere controllata a $+oo$ da $\pi/2$, così come ad esempio anche la funzione seno, che può essere controllata da 1 quando $x->+oo$.
Sì ma rimane comunque una forma indeterminata [0/0]..
(Ne sei sicuro della seconda affermazione? Io so che il lim a +∞ di sin(x) non esiste perché è una funzione oscillante!)
Comunque sono riuscito a risolverlo in questo modo:
possiamo riscrivere la frazione come x * (pi/2 - arctan(x)).
Il termine tra parentesi è infinitesimo per x->+∞, quindi possiamo sostituirlo con l'infinitesimo campione (1/x^α).
Stabiliamo l'ordine di infinitesimo, cioè discutendo il limite (di x * 1/x^α) al variare di α e otteniamo che se α > 1 il limite è 0, se α < 1 il limite è +∞ (prima avevo scritto al contrario), infine per α = 1 il limite esiste finito e diverso da 0, per cui l'ordine di infinitesimo è proprio 1.
Se α = 1 allora quel termine è asintotico con 1/x e allora x * 1/x = 1!
(Ne sei sicuro della seconda affermazione? Io so che il lim a +∞ di sin(x) non esiste perché è una funzione oscillante!
)Comunque sono riuscito a risolverlo in questo modo:
possiamo riscrivere la frazione come x * (pi/2 - arctan(x)).
Il termine tra parentesi è infinitesimo per x->+∞, quindi possiamo sostituirlo con l'infinitesimo campione (1/x^α).
Stabiliamo l'ordine di infinitesimo, cioè discutendo il limite (di x * 1/x^α) al variare di α e otteniamo che se α > 1 il limite è 0, se α < 1 il limite è +∞ (prima avevo scritto al contrario), infine per α = 1 il limite esiste finito e diverso da 0, per cui l'ordine di infinitesimo è proprio 1.
Se α = 1 allora quel termine è asintotico con 1/x e allora x * 1/x = 1!
Devi usare i codici per esprimere le formule altrimenti non riesco a capire nulla
E comunque io non ho detto che $lim_(x->+oo)(sinx)=1$
E comunque io non ho detto che $lim_(x->+oo)(sinx)=1$
@elauksap: Provato a sostituire [tex]$x=\tan y$[/tex] con [tex]$y\to \tfrac{\pi}{2}^-$[/tex]?
E poi a sostituire qualche altra cosa (tipo [tex]$z=\tfrac{\pi}{2} -y$[/tex] con [tex]$z\to 0^+$[/tex])?
E poi a sostituire qualche altra cosa (tipo [tex]$z=\tfrac{\pi}{2} -y$[/tex] con [tex]$z\to 0^+$[/tex])?
Si può anche usare l'identità
$\arctan(x) = \frac{\pi}{2}-\arctan(1/x)$ per ogni $x>0$.
$\arctan(x) = \frac{\pi}{2}-\arctan(1/x)$ per ogni $x>0$.
@gugo82
Sì, forse viene anche più semplice, ma il punto di arrivo è comunque quello!
Grazie a tutti!
Sì, forse viene anche più semplice, ma il punto di arrivo è comunque quello!
Grazie a tutti!
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