Ordine di infinitesimo e funzioni equivalenti
dovrei determinare fra le seguenti quale funzione ha il maggior ordine di infinitesimo per $x->0$:
$sin^3x$, $x^2/logx$, $x^2-sin^2x$, $2sinx-sin(2x)$. volevo qualche correzione al mio ragionamento.
usando gli sviluppi di mac-laurin ho pensato $sin^3x=x^3+o(x^4)$, $x^2/logx$ non ne ho idea, $x^2-sin^2x=x^4/3+o(x^4)$, $2sinx-sin(2x)=o(x^2)$. ho dei seri dubbi su quello che ho scritto, soprattutto nel determinare, appunto, l'ordine di $o$, nel senso che, per esempio se fosse $sinx$, io avrei $sinx=x+o(x^2)$, poichè utilizzo la formula $o(x^(2n+2))$, ma quindi per $sin^3x$ come devo pensarlo? e lo stesso per gli altri in generale... inoltre, un mio dubbio che esula forse da questo: mentre per trovare una funzione fortemente equivalente per $x->0$, posso usare mac-laurin (ad esempio $sinx\simx$, quando ho $x->oo$ come posso fare per trovare una funzione equivalente??
$sin^3x$, $x^2/logx$, $x^2-sin^2x$, $2sinx-sin(2x)$. volevo qualche correzione al mio ragionamento.
usando gli sviluppi di mac-laurin ho pensato $sin^3x=x^3+o(x^4)$, $x^2/logx$ non ne ho idea, $x^2-sin^2x=x^4/3+o(x^4)$, $2sinx-sin(2x)=o(x^2)$. ho dei seri dubbi su quello che ho scritto, soprattutto nel determinare, appunto, l'ordine di $o$, nel senso che, per esempio se fosse $sinx$, io avrei $sinx=x+o(x^2)$, poichè utilizzo la formula $o(x^(2n+2))$, ma quindi per $sin^3x$ come devo pensarlo? e lo stesso per gli altri in generale... inoltre, un mio dubbio che esula forse da questo: mentre per trovare una funzione fortemente equivalente per $x->0$, posso usare mac-laurin (ad esempio $sinx\simx$, quando ho $x->oo$ come posso fare per trovare una funzione equivalente??
Risposte
Per la funzione con il logaritmo, sviluppa il logaritmo a denominatore e poi tenta di fare delle semplificazioni.
Riguardo a $sin^3 x$, vedilo come $(sin x)^3$, sviluppa il seno e poi eleva lo sviluppo come semplice binomio al cubo.
Sull'ultima domanda: di solito si usano i limiti notevoli o delle maggiorazioni.
Paola
(edit per errore)
Riguardo a $sin^3 x$, vedilo come $(sin x)^3$, sviluppa il seno e poi eleva lo sviluppo come semplice binomio al cubo.
Sull'ultima domanda: di solito si usano i limiti notevoli o delle maggiorazioni.
Paola
(edit per errore)
"prime_number":
Per la funzione con il logaritmo, sviluppa il logaritmo a denominatore e poi tenta di fare delle semplificazioni.
Riguardo a $sin^3 x$, vedilo come $(sin x)^3$, sviluppa il seno e poi eleva lo sviluppo come semplice binomio al quadrato.
Sull'ultima domanda: di solito si usano i limiti notevoli o delle maggiorazioni.
Paola
per $sin^3 x$ ho lavorato così, queste cose le so fare.. il mio problema riguardava esclusivamente $o(x^n)$, come determinare l'$n$ in queste sistuazioni. e il logx come lo sviluppi? dovrei sviluppare $log(1+y)$ ponendo $y=x-1$??? spero in qualcuno che sia più chiaro su entrambi i miei dubbi
L' $n$ lo scegli come ti conviene.
Nello specifico:
$sin^3 x= (x+ O(x^3))^3= ... = x^3 + O(x^6)$
$\frac{x^2}{log x}=o( x^3)$ (perchè se fai il limite per $x\to 0^+$ di $\frac{x^3 logx}{x^2}$ viene $0$)
Se negli altri confronti ti serve fermarti dopo nello sviluppo di Taylor, scegli un altro $n$.
Paola
Nello specifico:
$sin^3 x= (x+ O(x^3))^3= ... = x^3 + O(x^6)$
$\frac{x^2}{log x}=o( x^3)$ (perchè se fai il limite per $x\to 0^+$ di $\frac{x^3 logx}{x^2}$ viene $0$)
Se negli altri confronti ti serve fermarti dopo nello sviluppo di Taylor, scegli un altro $n$.
Paola
Ciao. Non so interpreto correttamente la tua domanda
Per fare un esempio, se devi trovare l'ordine di infinitesimo di $2sin x-sin 2x$ e ti fermi al prim'ordine (come hai fatto) non risolvi la questione; arrivi a determinarlo se ti spingi fino all'ordine tre:
$2sin x-sin 2x=2[x-(x^3)/6+o(x^3)]-[2x-(8x^3)/6+o(x^3)]=x^3+o(x^3)$.
Per trovare l'ordine di infinitesimo di: $2sin x-sin2x-x^3$, i due seni andrebbero sviluppati fino all'ordine 5, e via dicendo.
Riguardo al termine $f(x)=(x^2)/(ln x)$, personalmente ho dei dubbi (ma magari mi sbaglio) che sviluppando si risolva qualcosa. Anche perchè se si cerca una potenza $x^k$ tale che $(f(x))/(x^k)$ tenda ad un limite finito non nullo per $x rightarrow 0^+$ le cose vanno mica tanto bene:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{x^2}{\ln x}}{x^k}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^{2-k}}{\ln x}=\left\{\begin{matrix}
0 ,se: k\leq2 \\
+\infty ,se: k>2
\end{matrix}\right.[/tex].
Forse ricorrendo agli iperreali, ma ne so poco o niente.
EDIT: @prime_number : ho letto la tua risposta solo a messaggio inviato... ma non dovrebbe essere $sin^3 x=x^3+o(x^4)$?
"ride":, nel senso "fino a che ordine devo sviluppare". Se sì, la risposta è: dipende dai casi.
il mio problema riguardava esclusivamente $o(x^n)$, come determinare l'$n$ in queste sistuazioni.
Per fare un esempio, se devi trovare l'ordine di infinitesimo di $2sin x-sin 2x$ e ti fermi al prim'ordine (come hai fatto) non risolvi la questione; arrivi a determinarlo se ti spingi fino all'ordine tre:
$2sin x-sin 2x=2[x-(x^3)/6+o(x^3)]-[2x-(8x^3)/6+o(x^3)]=x^3+o(x^3)$.
Per trovare l'ordine di infinitesimo di: $2sin x-sin2x-x^3$, i due seni andrebbero sviluppati fino all'ordine 5, e via dicendo.
Riguardo al termine $f(x)=(x^2)/(ln x)$, personalmente ho dei dubbi (ma magari mi sbaglio) che sviluppando si risolva qualcosa. Anche perchè se si cerca una potenza $x^k$ tale che $(f(x))/(x^k)$ tenda ad un limite finito non nullo per $x rightarrow 0^+$ le cose vanno mica tanto bene:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{x^2}{\ln x}}{x^k}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^{2-k}}{\ln x}=\left\{\begin{matrix}
0 ,se: k\leq2 \\
+\infty ,se: k>2
\end{matrix}\right.[/tex].
Forse ricorrendo agli iperreali, ma ne so poco o niente.
EDIT: @prime_number : ho letto la tua risposta solo a messaggio inviato... ma non dovrebbe essere $sin^3 x=x^3+o(x^4)$?
"prime_number":
L' $n$ lo scegli come ti conviene.
Nello specifico:
$sin^3 x= (x+ O(x^3))^3= ... = x^3 + O(x^6)$
$\frac{x^2}{log x}=o( x^3)$ (perchè se fai il limite per $x\to 0^+$ di $\frac{x^3 logx}{x^2}$ viene $0$)
Se negli altri confronti ti serve fermarti dopo nello sviluppo di Taylor, scegli un altro $n$.
Paola
umh io non credo sia così; infatti se metti $sin^3 x= (x+ o(x^3))^3= ... = x^3 + o(x^6)$, poichè nel caso in cui tu sviluppassi il $sin^3x$ avresti [img]http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP25051a204060i660ii1e00001ehchedeb0ifieec?MSPStoreType=image/gif&s=9&w=216&h=39[/img], dunque, fermandoti ad $x^3$ non so se l'ordine sia $o(x^6)$
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