Ordine di infinitesimo di una funzione

[gab.112]

Ciao a tutti... mi sono imbattuto in questo esercizio nel quale si richiede di determinare l'ordine di infinitesimo in 0 della funzione:

$ g(x)=(x^2/2+cosx)^(1/x^2)-1 $ , cosa che si traduce nel trovare il valore di "a" nel limite $ lim_(x -> 0) (((x^2/2+cosx)^(1/x^2)-1)/x^a) $ , in modo tale che il limite risulti finito e diverso da 0.

Ho provato a risolvere applicando lo sviluppo di McLaurin al coseno di x, ottenendo in questo modo:

$ lim_(x -> 0) (((x^2/2+1-x^2/2+x^4/(4!)+o(x^5))^(1/x^2)-1)/x^a) $.

Il limite in questione si riduce dunque a quello soprascritto. Sapreste indicarmi ora una via per procedere?
Grazie per l'interessamento a chi mi aiuterà.

[Seneca1]

$ lim_(x -> 0) (((x^2/2+1-x^2/2+x^4/(4!)+o(x^5))^(1/x^2)-1)/x^a) = lim_(x -> 0) (( e^(1/x^2 *ln(1+x^4/(4!)+o(x^5)))-1)/x^a) $

Mi pare si possa procedere così...