Ordine di Infinitesimo di coefficienti di Fourier
Salve, chiedo in questo forum perchè ho trovato poca letteratura sull'argomento -_-.
Il mio libro dice che vuole trovare l'ordine di infinitesimo di funzioni f con derivata (m-1)-esima continua, e derivata m-esima appartenente a L1 (funzioni integrabili secondo Lebesgue), nel periodo. allora l'ordine di infinitesimo dei coefficienti di fourier, all'infinito è 1/k^m
Ma allora scusate...
è legittimo che io prenda una funzione periodica che valga ad esempio
(x+1) in [-1,0]
0 in (0,1]
ripetuta periodicamente, (T= 2)
e dico che questa funzione pur discontinua, ha derivata seconda continua, quindi prendo come m=3 e dico che i coefficienti di fourier sono di infinitesimo superiore a 1/k^3 ?
mi pare strano a prima vista...
vi sarei grato se mi date una mano a delucidarmi su questa questione, grazie in anticipo!
errata corrige: avevo scritto (-x +1) invece di (x+1) (ma tanto il concetto è quello)
Il mio libro dice che vuole trovare l'ordine di infinitesimo di funzioni f con derivata (m-1)-esima continua, e derivata m-esima appartenente a L1 (funzioni integrabili secondo Lebesgue), nel periodo. allora l'ordine di infinitesimo dei coefficienti di fourier, all'infinito è 1/k^m
Ma allora scusate...
è legittimo che io prenda una funzione periodica che valga ad esempio
(x+1) in [-1,0]
0 in (0,1]
ripetuta periodicamente, (T= 2)
e dico che questa funzione pur discontinua, ha derivata seconda continua, quindi prendo come m=3 e dico che i coefficienti di fourier sono di infinitesimo superiore a 1/k^3 ?
mi pare strano a prima vista...
vi sarei grato se mi date una mano a delucidarmi su questa questione, grazie in anticipo!
errata corrige: avevo scritto (-x +1) invece di (x+1) (ma tanto il concetto è quello)
Risposte
"boulayo":
è legittimo che io prenda una funzione periodica che valga ad esempio
[tex]$\begin{cases} x+1 &\text{, in $[-1,0]$} \\ 0 &\text{, in $(0,1]$}\end{cases}$[/tex]
ripetuta periodicamente, con [tex]$T= 2$[/tex]
e dico che questa funzione pur discontinua, ha derivata seconda continua
Diresti cosa non vera.
Se la derivata seconda fosse continua, la funzione stessa sarebbe continua, il che non è.
La funzione non è derivabile in nessun punto [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex], quindi non è nemmeno derivabile due volte in tali punti.
ma se faccio la derivata prima nell'intervallo (-1,0) è la retta y = 1, se la faccio in (0, 1) è la retta y = 0
Ma la derivata seconda di questa funzione... non è sempre 0, con un punto di discontinuità eliminabile in 0?
se no, per favore convincetemi!
ah e poi, da quel che ho capito non si può dire nulla sull'ordine di infinitesimo dei coefficienti di fourier di funzioni discontinue nel periodo... o sbaglio?
grazie ancora!
Ma la derivata seconda di questa funzione... non è sempre 0, con un punto di discontinuità eliminabile in 0?
se no, per favore convincetemi!
ah e poi, da quel che ho capito non si può dire nulla sull'ordine di infinitesimo dei coefficienti di fourier di funzioni discontinue nel periodo... o sbaglio?
grazie ancora!
A convincerti si fa subito.
Diciamo che la tua funzione abbia davvero la derivata ovunque, continua e nulla; supponiamo che la derivata prima sia uguale ad [tex]$1$[/tex] in [tex]$-1$[/tex] (cioè [tex]$f^\prime (-1)=1$[/tex]): in tal caso si può applicare senza ritegno il teorema fondamentale del calcolo integrale, che importa:
[tex]$f^\prime (x)=1+\int_{-1}^x f^{\prime \prime} (t)\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=1+\int_{-1}^x 0\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=1$[/tex]
sicché la tua derivata prima dovrebbe essere uguale a [tex]$1$[/tex] ovunque; ancora, il teorema fondamentale del calcolo con la condizione [tex]$f(-1)=0$[/tex], troveresti:
[tex]$f(x)=0+\int_{-1}^x f^\prime (t)\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=0-\int_{-1}^x \text{d} t$[/tex]
[tex]$=x+1$[/tex]
ovunque... E non mi pare che la funzione originaria fosse dappertutto uguale a [tex]$x+1$[/tex], no?
Il problema è che la derivata prima ha discontinuità non eliminabili, ergo la derivata seconda esiste quasi ovunque ma non certamente ovunque; non appena la si prolunga con continuità, si ottiene la derivata seconda di un'altra funzione che non coincide con la funzione di partenza. In questo fatto gioca un ruolo importante il teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti esso non sopporta i "buchi" nel dominio e, quando si cerca di coprirli, restituisce risultati diversi da quelli che si aspettano.
Se la vedi dal punto di vista della teoria delle distribuzioni, lo capisci subito: infatti la derivata prima della tua funzione contiene delle [tex]$\delta$[/tex] di Dirac, sicché la derivata seconda contiene le derivate prime di tali [tex]$\delta$[/tex] e non è ovunque nulla.
Diciamo che la tua funzione abbia davvero la derivata ovunque, continua e nulla; supponiamo che la derivata prima sia uguale ad [tex]$1$[/tex] in [tex]$-1$[/tex] (cioè [tex]$f^\prime (-1)=1$[/tex]): in tal caso si può applicare senza ritegno il teorema fondamentale del calcolo integrale, che importa:
[tex]$f^\prime (x)=1+\int_{-1}^x f^{\prime \prime} (t)\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=1+\int_{-1}^x 0\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=1$[/tex]
sicché la tua derivata prima dovrebbe essere uguale a [tex]$1$[/tex] ovunque; ancora, il teorema fondamentale del calcolo con la condizione [tex]$f(-1)=0$[/tex], troveresti:
[tex]$f(x)=0+\int_{-1}^x f^\prime (t)\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=0-\int_{-1}^x \text{d} t$[/tex]
[tex]$=x+1$[/tex]
ovunque... E non mi pare che la funzione originaria fosse dappertutto uguale a [tex]$x+1$[/tex], no?
Il problema è che la derivata prima ha discontinuità non eliminabili, ergo la derivata seconda esiste quasi ovunque ma non certamente ovunque; non appena la si prolunga con continuità, si ottiene la derivata seconda di un'altra funzione che non coincide con la funzione di partenza. In questo fatto gioca un ruolo importante il teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti esso non sopporta i "buchi" nel dominio e, quando si cerca di coprirli, restituisce risultati diversi da quelli che si aspettano.
Se la vedi dal punto di vista della teoria delle distribuzioni, lo capisci subito: infatti la derivata prima della tua funzione contiene delle [tex]$\delta$[/tex] di Dirac, sicché la derivata seconda contiene le derivate prime di tali [tex]$\delta$[/tex] e non è ovunque nulla.
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