Ordine di infinitesimo

[Bob_inch]

Mi chiedo come si determini l'ordine di un infinitesimo...

ad es. avendo 1-cosx per x->0 qual è l'ordine?

Potreste spiegarmi passaggio per passaggio, please? Una bella spiegazione mi farebbe un po' di luce in merito..

Thanks

[gugo82]

"Bob_inch":Mi chiedo come si determini l'ordine di un infinitesimo...

ad es. avendo 1-cosx per x->0 qual è l'ordine?

Potreste spiegarmi passaggio per passaggio, please? Una bella spiegazione mi farebbe un po' di luce in merito..

Thanks

Parlare di ordine di infinitesimo senza specificare rispetto a quale funzione si vuole determinare tale ordine è come dire che una strada è lunga $10$, senza specificare se la lunghezza è espressa in metri, chilometri od anniluce.

La definizione di infinitesimo dotato di ordine rispetto ad un altro è la seguente:

Siano $I,Jsubseteq RR$, $c$ un punto di accumulazione per $I$ e $J$, $f:Ito RR$ ed $u:Jto RR$ funzioni infinitesime in $c$, cioè tali che $lim_(xto c)f(x)=0=lim_(x to c)u(x)$, e definitivamente non nulle intorno a $c$ (nel senso che esiste un $delta>0$ tale che $AA x in ]c-delta,c+delta[capI-{c}, f(x)!=0$ e $AAx in ]c-delta,c+delta[capJ-{c}, u(x)!=0$); inoltre $u$ sia definitivamente positiva intorno a $c$.

Si dice che $f$ è un infinitesimo dotato di ordine rispetto ad $u$ in $c$ se e solo se esiste un $alpha>0$ tale che entrambi i limiti:

$lim_(xto c)(|f(x)|)/(u^alpha(x)) quad$ e $quad lim_(xto c)(u^alpha(x))/(|f(x)|)$

esistano finiti e non nulli; in tal caso il numero $alpha$ si chiama ordine di $f$ rispetto all'infinitesimo campione $u$.

Di solito si prende come infinitesimo campione in $c$ la funzione $u(x)=|x-c|$, se $c in RR$, oppure la funzione $u(x)=1/(|x|)$, se $c=pm oo$ (si parla di infinitesimo campione canonico).

Nel tuo caso hai $f(x)=1-cosx$ che verifica tutte le ipotesi della definizione (infinitesima in $0$ e definitivamente non nulla intorno a $0$); fissando, come detto sopra, l'infinitesimo campione $u(x)=|x-0|=|x|$, hai: $AA alpha>0$,

$(|f(x)|)/(u^alpha(x))=\{((1-cosx)/((-x)^alpha), ", se " x<0),((1-cosx)/(x^alpha), ", se " x>0):}$

$(u^alpha(x))/(|f(x)|)=\{(((-x)^alpha)/(1-cosx), ", se " x<0),((x^alpha)/(1-cosx), ", se " x>0):}$

quindi:

$lim_(x to 0^+)(|f(x)|)/(u^alpha(x))=lim_(xto 0^+)(1-cosx)/(x^alpha)=\{(0, ", se "alpha<2),(1/2, ", se " alpha=2),(+oo, ", se "alpha>2):}$,

$lim_(x to 0^-)(|f(x)|)/(u^alpha(x))=lim_(yto 0^+)(1-cosx)/((-x)^alpha)=lim_(yto 0^+)(1-cosy)/(y^alpha)=\{(0, ", se "alpha<2),(1/2, ", se " alpha=2),(+oo, ", se "alpha>2):}$,

$lim_(x to 0^+) (u^alpha(x))/(|f(x)|)=lim_(xto 0^+)(x^alpha)/(1-cosx) =\{(+oo, ", se "alpha<2),(2, ", se " alpha=2),(0, ", se "alpha>2):}$,

$lim_(x to 0^-) (u^alpha(x))/(|f(x)|)=lim_(xto 0^-)((-x)^alpha)/(1-cosx) =lim_(yto 0^+)(y^alpha)/(1-cosy) =\{(+oo, ", se "alpha<2),(2, ", se " alpha=2),(0, ", se "alpha>2):}$.

I due limiti di cui alla definizione esistono entrambi finiti solo nel caso $alpha=2$: pertanto $f(x)=1-cosx$ è un infinitesimo d'ordine uguale a $2$ (rispetto all'infinitesimo campione canonico)