Ordine di infinitesimo

[enrico___1]

[math]
f(x)=\int_0^x \! \frac{\arctan t^2}{4+2t^3} \, \mathrm{d}t.
[/math]

Se ne trovi l'ordine di infinitesimo rispetto ad x, per x

[math]\to[/math]

0, e la parte principale

Ho fatto così

[math]\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{t^z (4+2x^3)}[/math]

Ponendo z=2 il limite risulta

[math]\frac{1}{4}[/math]

Però il risultato è

[math]\frac{1}{12}[/math]

e l'ordine di infinitesimo è 3.

Il procedimento che viene dato nel libro è questo

[math]
lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x^n} =(H) \lim_{x\to 0} \frac{\arctan x^2}{x^{n-1}}\frac{1}{(4+2x^3)n}
[/math]

Visto che l'integrale converge quando n-1=2 cioè per n=3

[math]
\frac{1}{12} \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^2}=\frac{1}{12}
[/math]

Quindi la parte principale è:

[math]\frac{1}{12}x^3[/math]

Aggiunto 12 ore 9 minuti più tardi:

Grazie ciampax, spiegazione molto chiara :)

[ciampax]

Non ho capito bene come hai fatto, ma la cosa è molto più semplice: trova la parte principale della funzione integranda per

[math]t\to 0[/math]

e integra.

In particolare, sapendo che

[math]\arctan t^2\sim t^2,\ \frac{1}{4+2t^3}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+t^3/2}\sim\frac{1}{4}(1-\frac{t^3}{2}}[/math]

ottieni

[math]\frac{\arctan t^2}{4+2t^3}\sim t^2\cdot\frac{1}{4}\left(1-\frac{t^3}{2}\right)\sim\frac{t^2}{4}[/math]

, per cui

[math]f(x)\sim\int\frac{t^2}{4}\ dt=\frac{x^3}{12}[/math]

che è il tuo risultato, ma senza tutte le menate che hai scritto! :asd