Ordine di infinitesimo

[mona312]

Ciao, ho bisogno di una mano con questo esercizio che mi richiede di trovare l’ordine infinitesimo della funzione:
f(x) = ∛(x+x^2) - ∛(x) + x^2 .
A me esce n=1/3, ma è scorretto. Qualcuno può illuminarmi? Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao mona312,

Non è che si capisca molto com'è definita la funzione...
Per caso è la seguente?

$ f(x) = \root[3](x+x^2) - \root[3](x) + x^2 $

$ f(x) = \root[3](x+x^2) - \root[3](x) + x^2 $

Se la funzione è questa, l’ordine di infinitesimo mi risulta essere $4/3$

[mona312]

Esatto, è quella la funzione. Dovrebbe uscire 4/3 come hai detto tu, però non saprei come arrivarci con i metodi che so. Per risolverla ho dedotto gli ordini di infinitesimo delle tre funzioni. Dovrebbe quindi uscire una cosa così: o(x^1/3) - o(x^1/3) + o(x^2) . Secondo le regole degli o piccolo, la o con il grado più grande è inglobato da quelli con ordine minore, mentre la sottrazione di due o piccolo uguali da lo stesso o piccolo; quindi mi esce n=1/3 . Però è sbagliato…..

[pilloeffe]

Farei così:

$ f(x) = \root[3](x+x^2) - \root[3](x) + x^2 = \root[3](x)\root[3](1+x) - \root[3](x) + x^2 = \root[3](x)(\root[3](1+x) - 1) + x^2 $

Poi mi ricorderei dello sviluppo in serie binomiale:

$ \root[3](1+x) = 1 + x/3 - x^2/9 + o(x^3) \implies \root[3](1+x) - 1 = x/3 + o(x^2) $