Ordine di infinitesimo
Ciao ragazzi 
Devo trovare l'ordine di infinitesimo di questa bellezza
$f(x)= ( sin x/ x)^ (1/( x sin x)) -e^(-1/6)$
Un po in difficoltà ho provato a sviluppare con Taylor i vari pezzi in questo modo
$ ( (x-x^3/6+o(x^4))/ x)^ (1/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^(log (1-x^2/6+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-1/6-x^2/72+o(x)))-e^(-1/6) = e^(-1/6)*e^(-x^2/72+o(x^3))-e^(-1/6) =e^(-1/6)(e^(-x^2/72+o(x^3))-1) =e^(-1/6)(-x^2/72) $
Quindi l'ordine risulta essere 2. Ciò che ho fatto ha un senso o è campato per aria? Mi trovo in difficoltà principalmente con gli o piccoli ad esempio quando spezzo le frazioni o simili non so se è completamente giusto ciò che ho fatto.
Il problema nasce quando mi chiede di calcolare
$ lim_(x -> 0)f(x)/x^2 $
che secondo il mio ragionamento varrebbe $-e^(-1/6)/72$ mentre lì mi segna $-e^(-1/6)/30$
Ho cannato io?
Provo ad ipotizzare il mio errore
Non mi convince il passaggio in cui spezzo$ (-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))$
Se devo essere sincero ho abbastanza ignorato l'o piccolo a denominatore perchè non sapevo bene che farci.
O magari era errato fermarsi al primo ordine a denominatore?
Devo trovare l'ordine di infinitesimo di questa bellezza
$f(x)= ( sin x/ x)^ (1/( x sin x)) -e^(-1/6)$
Un po in difficoltà ho provato a sviluppare con Taylor i vari pezzi in questo modo
$ ( (x-x^3/6+o(x^4))/ x)^ (1/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^(log (1-x^2/6+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-1/6-x^2/72+o(x)))-e^(-1/6) = e^(-1/6)*e^(-x^2/72+o(x^3))-e^(-1/6) =e^(-1/6)(e^(-x^2/72+o(x^3))-1) =e^(-1/6)(-x^2/72) $
Quindi l'ordine risulta essere 2. Ciò che ho fatto ha un senso o è campato per aria? Mi trovo in difficoltà principalmente con gli o piccoli ad esempio quando spezzo le frazioni o simili non so se è completamente giusto ciò che ho fatto.
Il problema nasce quando mi chiede di calcolare
$ lim_(x -> 0)f(x)/x^2 $
che secondo il mio ragionamento varrebbe $-e^(-1/6)/72$ mentre lì mi segna $-e^(-1/6)/30$
Ho cannato io?
Provo ad ipotizzare il mio errore
Non mi convince il passaggio in cui spezzo$ (-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))$
Se devo essere sincero ho abbastanza ignorato l'o piccolo a denominatore perchè non sapevo bene che farci.
O magari era errato fermarsi al primo ordine a denominatore?
Risposte
Io direi che conviene scrivere la funzione in questo modo (ricorda che $a^b=e^{b\cdot\log a}$ per $a>0$)
$$f(x)=e^{\frac{1}{x\sin x}\cdot\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)}-e^{-1/6}$$
Ora, se ti concentri sull'esponente avrai
$$\frac{1}{x\sin x}\cdot\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{\log\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}{x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}+o(x^6)}\\
=\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)^2+o\left(\left(-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)^3\right)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\\
=\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^4}{72}+o(x^4)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\\
=\left(-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}+o(x^2)\right)\cdot\left(1+\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)=-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}-\frac{x^2}{36}+o(x^2)$$
e in definitiva
$$f(x)=e^{-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{30}+o(x^2)}-e^{-1/6}=e^{-1/6}\left(e^{-\frac{x^2}{30}+o(x^2)}-1\right)\\ =e^{-1/6}\cdot\left(-\frac{1}{30} x^2+o(x^2)\right)$$
da cui il limite che cerchi.
$$f(x)=e^{\frac{1}{x\sin x}\cdot\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)}-e^{-1/6}$$
Ora, se ti concentri sull'esponente avrai
$$\frac{1}{x\sin x}\cdot\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{\log\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}{x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}+o(x^6)}\\
=\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)^2+o\left(\left(-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)^3\right)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\\
=\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^4}{72}+o(x^4)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\\
=\left(-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}+o(x^2)\right)\cdot\left(1+\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)=-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}-\frac{x^2}{36}+o(x^2)$$
e in definitiva
$$f(x)=e^{-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{30}+o(x^2)}-e^{-1/6}=e^{-1/6}\left(e^{-\frac{x^2}{30}+o(x^2)}-1\right)\\ =e^{-1/6}\cdot\left(-\frac{1}{30} x^2+o(x^2)\right)$$
da cui il limite che cerchi.
"ciampax":
$\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^4}{72}+o(x^4)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\ =\left(-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}+o(x^2)\right)\cdot\left(1+\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^4)).$
Non capisco cosa hai fatto qua
Sì, scusa sono andato un po' veloce. Allora, ho sommato a numeratore i due termini di quarto grado, ho diviso per $x^2$ in modo da ridurre e poi ho sviluppato la parte tra parentesi a denominatore usando $\frac{1}{1-t}=1+t+t^2+o(t^2)$
La cosa importante è notare che a numeratore ti serve sviluppare ad un ordine più alto (prima di questo punto che hai evidenziato) altrimenti il termine di quarto grado non risulta corretto e quindi il termine di secondo grado alla fine è sbagliato.
La cosa importante è notare che a numeratore ti serve sviluppare ad un ordine più alto (prima di questo punto che hai evidenziato) altrimenti il termine di quarto grado non risulta corretto e quindi il termine di secondo grado alla fine è sbagliato.
Ah non ero a conoscenza di quello sviluppo, buono a sapersi direi 
Una cosa, perché nel passaggio prima quando sviluppi il logaritmo metti l'o piccolo dell'infinitesimo alla 3, se nello sviluppo ti sei fermato al secondo ordine?
Una cosa, perché nel passaggio prima quando sviluppi il logaritmo metti l'o piccolo dell'infinitesimo alla 3, se nello sviluppo ti sei fermato al secondo ordine?
Errore mio: ci va 2.
O grazie mille, ora è chiaro
Questo passaggio non aveva senso vero?
Questo passaggio non aveva senso vero?
"LoreT314":
$ e^((-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-1/6-x^2/72+o(x)))-e^(-1/6)$
Eh no, non aveva senso.
Grazie mille per tutto
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