Ordine di infinitesimo

LoreT314
Ciao ragazzi :D
Devo trovare l'ordine di infinitesimo di questa bellezza
$f(x)= ( sin x/ x)^ (1/( x sin x)) -e^(-1/6)$
Un po in difficoltà ho provato a sviluppare con Taylor i vari pezzi in questo modo

$ ( (x-x^3/6+o(x^4))/ x)^ (1/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^(log (1-x^2/6+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-1/6-x^2/72+o(x)))-e^(-1/6) = e^(-1/6)*e^(-x^2/72+o(x^3))-e^(-1/6) =e^(-1/6)(e^(-x^2/72+o(x^3))-1) =e^(-1/6)(-x^2/72) $

Quindi l'ordine risulta essere 2. Ciò che ho fatto ha un senso o è campato per aria? Mi trovo in difficoltà principalmente con gli o piccoli ad esempio quando spezzo le frazioni o simili non so se è completamente giusto ciò che ho fatto.
Il problema nasce quando mi chiede di calcolare
$ lim_(x -> 0)f(x)/x^2 $
che secondo il mio ragionamento varrebbe $-e^(-1/6)/72$ mentre lì mi segna $-e^(-1/6)/30$ :cry:
Ho cannato io?
Provo ad ipotizzare il mio errore
Non mi convince il passaggio in cui spezzo$ (-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))$
Se devo essere sincero ho abbastanza ignorato l'o piccolo a denominatore perchè non sapevo bene che farci.
O magari era errato fermarsi al primo ordine a denominatore?

Risposte
ciampax
Io direi che conviene scrivere la funzione in questo modo (ricorda che $a^b=e^{b\cdot\log a}$ per $a>0$)
$$f(x)=e^{\frac{1}{x\sin x}\cdot\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)}-e^{-1/6}$$
Ora, se ti concentri sull'esponente avrai
$$\frac{1}{x\sin x}\cdot\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{\log\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}{x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}+o(x^6)}\\

=\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)^2+o\left(\left(-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)^3\right)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\\

=\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^4}{72}+o(x^4)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\\


=\left(-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}+o(x^2)\right)\cdot\left(1+\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)=-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}-\frac{x^2}{36}+o(x^2)$$
e in definitiva
$$f(x)=e^{-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{30}+o(x^2)}-e^{-1/6}=e^{-1/6}\left(e^{-\frac{x^2}{30}+o(x^2)}-1\right)\\ =e^{-1/6}\cdot\left(-\frac{1}{30} x^2+o(x^2)\right)$$
da cui il limite che cerchi.

LoreT314
"ciampax":
$\frac{-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^4}{72}+o(x^4)}{x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)}\ =\left(-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}+o(x^2)\right)\cdot\left(1+\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^4)).$

Non capisco cosa hai fatto qua :oops:

ciampax
Sì, scusa sono andato un po' veloce. Allora, ho sommato a numeratore i due termini di quarto grado, ho diviso per $x^2$ in modo da ridurre e poi ho sviluppato la parte tra parentesi a denominatore usando $\frac{1}{1-t}=1+t+t^2+o(t^2)$
La cosa importante è notare che a numeratore ti serve sviluppare ad un ordine più alto (prima di questo punto che hai evidenziato) altrimenti il termine di quarto grado non risulta corretto e quindi il termine di secondo grado alla fine è sbagliato.

LoreT314
Ah non ero a conoscenza di quello sviluppo, buono a sapersi direi :)
Una cosa, perché nel passaggio prima quando sviluppi il logaritmo metti l'o piccolo dell'infinitesimo alla 3, se nello sviluppo ti sei fermato al secondo ordine?

ciampax
Errore mio: ci va 2.

LoreT314
O grazie mille, ora è chiaro
Questo passaggio non aveva senso vero?
"LoreT314":
$ e^((-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-1/6-x^2/72+o(x)))-e^(-1/6)$

ciampax
Eh no, non aveva senso.

LoreT314
Grazie mille per tutto :)

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