Ordine di infinitesimo

[Tea-Rex]

Ciao a tutti!
Propongo un altro esercizio da tema d'esame.

Dire quale è l'ordine di infinitesimo di $a_n$ rispetto all'infinitesimo campione $1/n$ per $n \to +infty$

$a_n = exp(1/n)-(1/4)exp(sinh(2/n))-3/4-1/(2n)$

io ho usato gli sviluppi asintotici:

$e^(1/n) = 1 + 1/n + 1/(2n^2) + o(1/n^2)$
$sinh(2/n)=2/n + 4/(3n^2) + o(1/n^2)$
$e^(sinh(2/n))=1+2/n+4/(3n^2)+2/n^2+8/(3n^3)+8/(3n^4)+o(1/n^4)$

Quindi ora faccio:

$lim_{n \to +infty} (1 + 1/n + 1/(2n^2)-1/4-1/(2n)-1/(3n^2)-1/(2n^2)-2/(3n^3)-2/(3n^4)-3/4-1/(2n))/(1/n) =$

$=lim_{n \to +infty} -1/(3n)-2/(3n^2)-2/(3n^3)$

Dato che l'ordine più basso che non si annulla è 1, l'ordine di infinitesimo, rispetto all'infinitesimo campione è 1. Giusto?

[donald_zeka]

Mi pare che i termini del tipo $1/n$ si annullino al numeratore

[Tea-Rex]

Ah, io pensavo che $1/n$ al denominatore, andasse a influire su numeratore, in questo caso abbassando di un grado gli esponenti.
Invece lo devo interpretare come $1/n^\alpha$ al denominatore, e quindi avrei $\lim_{n \to +infty} 1/(3n^(2-\alpha))$ e da qui $\alpha = 2$ che corrisponde all'ordine di infinitesimo?