Ordine di infinitesimo

[Cesare34556]

Buonasera a tutti,

stavo studiando la seguente funzione integrale:

$F(x)=int_(1)^(x) \frac{e^t log(1+e^(-t^2))}{sqrt(t+1)} dt $

quando mi è sorto un dubbio: come si dimostra rigorosamente che l'integrale converge per $xrarr+oo$ ?
Dopo aver dimostrato che il limite dell'integranda all'infinito fosse zero ho pensato che si potesse dimostrare impostando il calcolo dell'ordine di infinitesimo rispetto al campione con un esponente generico $\alpha$ per poi concludere (eventualmente semplificando con de l'Hopital) che non esiste (?) un ordine di infinitesimo.
Può andar bene?
Oppure un altro metodo che pensavo potrebbe essere mostrare che l'integranda è un o piccolo di qualche cosa convergente!
Vi ringrazio in anticipo

[donald_zeka]

$ln(1+e^(-t^2))$ all'infinito si comporta come $e^(-t^2)$, pertanto all'infinito l'integranda si comporta come

$e^t/(e^(t^2)sqrt(t))=1/(e^(t^2-t))=1/e^(t^2)$

Si vede quindi che l'integranda all'infinito si comporta come $1/(e^(t^2))$ che è un infinitesimo di ordine maggiore di qualsiasi $1/x^(alpha)$

[Cesare34556]

Grazie mille!!
Per capire ancora una cosa, non mi torna questo passaggio:

$frac{e^t}[e^(t^2)sqrt(t)} = frac{1}{e^(t^2-t)}$

volevi quindi dire che siccome la prima è minore della seconda (in un intorno di piu infinito) e poichè questa converge allora anche la prima converge? Altrimenti non ho capito

[donald_zeka]

Non ho usato passaggi logici rigorosi, solo notato che al denominatore c'è un $e^(t^2)$ che va a infinito molto più velocemente di tutti gli altri termini presenti, pertanto all'infinito ció che domina è $1/(e^(t^2))$ e l'integranda all'infinito si comporta come tale.

[Cesare34556]

ok grazie ancora!