Ordine di f in a (analisi complessa)
Ho da poco iniziato le serie di Laurent seguite dalle singolarità.
Ora per distinguere i tre tipi di singolarità (rimovibile, polo, essenziale) viene indrodotto il concetto di ordine:
ord(f) = p se $a_n = 0$ per $n < p$ e $a_p !=0$
ord(f) = $+prop$ se $a_n = 0$ per $AAn$
ord(f) = $-prop$ se ${n in N: a_-n != 0}$ è infinito
Dato che la mia dispensa è molto povera in spiegazioni non ho capito come si determina l'ordine...mi sapete dare una mano?
Vi ringrazio,
Mauro
Ora per distinguere i tre tipi di singolarità (rimovibile, polo, essenziale) viene indrodotto il concetto di ordine:
ord(f) = p se $a_n = 0$ per $n < p$ e $a_p !=0$
ord(f) = $+prop$ se $a_n = 0$ per $AAn$
ord(f) = $-prop$ se ${n in N: a_-n != 0}$ è infinito
Dato che la mia dispensa è molto povera in spiegazioni non ho capito come si determina l'ordine...mi sapete dare una mano?
Vi ringrazio,
Mauro
Risposte
Ho da poco iniziato le serie di Laurent seguite dalle singolarità.
Ora per distinguere i tre tipi di singolarità (rimovibile, polo, essenziale) viene indrodotto il concetto di ordine:
ord(f) = p se $a_n = 0$ per $n < p$ e $a_p !=0$
ord(f) = $+prop$ se $a_n = 0$ per $AAn$
ord(f) = $-prop$ se ${n in N: a_-n != 0}$ è infinito
Dato che la mia dispensa è molto povera in spiegazioni non ho capito come si determina l'ordine...mi sapete dare una mano?
Vi ringrazio,
Proverò a darti una mano , sperando di essere il più chiaro possibile.
Se fai lo sviluppo di Laurent di una $f(z)$ saprai che la serie di laurent è composta da una parte singolare e da una regolare.
Per intenderci la parte singolare è quella dove "compaiono" i $C_{-n}$.
Se hai uno sviluppo in serie in un punto $Z_{0}$ dove hai infiniti coefficenti $C_{-n} \ne 0$ allora $f(z)$ ha una discontinuità essenziale in $Z_{0}$.
Se invece hai uno sviluppo in serie dove solo un numero finito di $C_{-n} \ne 0$ allora $f(z)$ ha un polo in $Z_{0}$.Per determinare l'ordine del polo guardi Il maggior n per il quale $C_{-n} \ne 0$.
faccio un esempio che si capisce meglio.
Prendi la funzione $f(z)=(z^{-4} e^{(z-1)^2 -z})^2$.
ricordo che $e^x=\sum x^n/{n!}$ Lo sviluppo in serie di Laurent di $f(z)$ in zero è:
$\sum_{n=0}^{+\infty}2^n (z^2 -3z +1)^n/{z^8 n!}=1/z^8+ 2(z^2 -3z +1)/z^8+4(z^2 -3z +1)^2/{2! z^8} +8 (z^2 -3z +1)^3/{3! z^8}$
Da qui si nota che il massimo n per cui $C_{-n}$ è diverso da zero è 8.poichè $C_{-8}=1$.
Per cui z=0 è un polo di ordine 8.
Se invece non hai parte singolare,$z_{0}$ è un punto di discontinuità eliminabile..
Spero di non aver sbagliato nei conti e di essere stato chiaro.
"CiUkInO":
[CUT]
Prendi la funzione $f(z)=(z^{-4} e^{(z-1)^2 -z})^2$.
ricordo che $e^x=\sum x^n/{n!}$ Lo sviluppo in serie di Laurent di $f(z)$ in zero è:
$\sum_{n=0}^{+\infty}2^n (z^2 -3z +1)^n/{z^8 n!}=1/z^8+ 2(z^2 -3z +1)/z^8+4(z^2 -3z +1)^2/{2! z^8} +8 (z^2 -3z +1)^3/{3! z^8}$
Da qui si nota che il massimo n per cui $C_{-n}$ è diverso da zero è 8.poichè $C_{-8}=1$.
Per cui z=0 è un polo di ordine 8.
È questa tua affermazione che non mi è chiara...cioè come mi hai calcolato$C_{-8}$? Scusami ma sono agli inizi...
Grazie per l'aiuto
Mauro
come mi hai calcolato$C_{-8}$?
Il $C_{-8}$ è il coefficente che moltiplica $1/z^8$ perchè lo puoi vedere come $z^-8$.
se invece guardi $2(z^2 -3z +1)/z^8$ questa espressione diciamo che "viaggia" come $1/z^6$ quindi anche il $C_{-6}$ è diverso da zero.
Stessa cosa se guardi $4(z^2 -3z +1)^2/{2! z^8}$ questa espressione "viaggia" come $1/z^4$ quindi anche il $C_{-4}$ è diverso da zero. e cosi via.
Qual'è il massimo valore di n tale che $C_{-n}$ è diverso da zero?
Chiaramente è 8.
Ecco perchè polo del ottavo ordine.
Non so se sono riuscito a farmi capire, come avrai notato non sono bravo docente.
Ma cosa intendi dire per "uguale a zero"? È questo che non riesco a capire...perchè con quell'otto non riesco a capirmi...grazie della pazienza
Ma cosa intendi dire per "uguale a zero"? È questo che non riesco a capire...perchè con quell'otto non riesco a capirmi...grazie della pazienza Smile
Scusa, ma cosa vuoi che intenda per uguale a zero?
Boh probabilmente non riesco a spiegarmi, meglio di così non so esprimermi.
Spero che qualcun altro sia più chiaro di me.
premetto che considero il discorso di ciukino completo e chiaro e ritengo che non andrebbe aggiunto nient'altro. mi permetto di intervenire solo perché sembra che l'argomento sia ancora in parte oscuro...
sia $f:CC to CC$ ed indichiamo con $c_n$ l'n-esimo coefficiente dello sviluppo in serie di Laurent di $f$. diciamo che il punto $z_0$ è una singolarità isolata di $f$ se $f$ è olomorfa in un intorno di $z_0$, $z_0$ escluso. $z_0$ può essere:
1) una singolarità eliminabile se nello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $z_0$ i coefficienti $c_n$ sono tutti nulli $AA n<0$
2) un polo se nello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $z_0$ i coefficienti $c_n$ con $n<0$ diversi da $0$ sono in numero finito, in particolare $z_0$ è un polo di ordine $N in NN$ se $c_-N != 0$ e $c_-n = 0$, $AA n>N$
3) una singolarità essenziale se nello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $z_0$ ci sono infiniti coefficienti $c_n$ non nulli
nel primo post della discussione si è parlato di "ordine". da quanto detto finora è chiaro che si parla di ordine quando si è in presenza di un polo... l'ordine di un polo è il più alto numero intero $N$ tale che nello sviluppo di Laurent $c_-N$ deve essere diverso da $0$
sia $f:CC to CC$ ed indichiamo con $c_n$ l'n-esimo coefficiente dello sviluppo in serie di Laurent di $f$. diciamo che il punto $z_0$ è una singolarità isolata di $f$ se $f$ è olomorfa in un intorno di $z_0$, $z_0$ escluso. $z_0$ può essere:
1) una singolarità eliminabile se nello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $z_0$ i coefficienti $c_n$ sono tutti nulli $AA n<0$
2) un polo se nello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $z_0$ i coefficienti $c_n$ con $n<0$ diversi da $0$ sono in numero finito, in particolare $z_0$ è un polo di ordine $N in NN$ se $c_-N != 0$ e $c_-n = 0$, $AA n>N$
3) una singolarità essenziale se nello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $z_0$ ci sono infiniti coefficienti $c_n$ non nulli
nel primo post della discussione si è parlato di "ordine". da quanto detto finora è chiaro che si parla di ordine quando si è in presenza di un polo... l'ordine di un polo è il più alto numero intero $N$ tale che nello sviluppo di Laurent $c_-N$ deve essere diverso da $0$
Avevo un pò di confusione ma mi sono capito...grazie mille
Mi potreste chiarire lo sviluppo e l'olomorfia nel punto all'infinito?
Data una funzione f(z) lo sviluppo intorno all'inf si ottinee come lo sviluppo intorno a 0 della funzione f(1/z).
Se f(1/z) = Somma ( an z^n ), sviluppo intorno a zero, allora la stessa formula dà lo sviluppo intorno a infinito di f(z)???
Inoltre, se nello sviluppo ottenuto i coefficienti an sono tutti nulli da 1 in poi la funz è olomorfa, se nulli da n>0 in poi inf è un polo di ordine n, se tutti i coefficienti sono non nulli inf è una singolarità essenziale. E' tutto corretto??? Mi fate un esempio??
Data una funzione f(z) lo sviluppo intorno all'inf si ottinee come lo sviluppo intorno a 0 della funzione f(1/z).
Se f(1/z) = Somma ( an z^n ), sviluppo intorno a zero, allora la stessa formula dà lo sviluppo intorno a infinito di f(z)???
Inoltre, se nello sviluppo ottenuto i coefficienti an sono tutti nulli da 1 in poi la funz è olomorfa, se nulli da n>0 in poi inf è un polo di ordine n, se tutti i coefficienti sono non nulli inf è una singolarità essenziale. E' tutto corretto??? Mi fate un esempio??
Si, sostanzialmente all'infinito accade l'opposto di ciò che accade intorno a $0$... la parte olomorfa di una funzione è data dalla somma delle potenze con indice non positivo mentre la parte singolare è la somma delle potenze ad esponente positivo. Quindi $f(z)$ è olomorfa all'infinito se nel suo sviluppo di Laurent (detti $c_n$ i coefficienti della serie) risulta $c_n=0 AAn>0$, in tal caso si pone $f(oo)=c_0$; $oo$ è invece un polo di ordine $NinNN$ per $f(z)$ se risulta $c_N != 0$ e
$c_n=0 AAn>N$; $oo$ è una singolarità essenziale se infiniti coefficienti $c_n$ con $n>0$ sono non nulli.
Un esempio? Le funzioni $sinz$ e $cosz$ all'infinito presentano una singolarità essenziale, visto che intorno a $0$ sono sviluppabili in una banale serie di Mac Laurin... $e^z$ ha anch'essa una singolarità essenziale all'infinito (infatti $e^(1/z)$ ce l'ha in $0$).
$c_n=0 AAn>N$; $oo$ è una singolarità essenziale se infiniti coefficienti $c_n$ con $n>0$ sono non nulli.
Un esempio? Le funzioni $sinz$ e $cosz$ all'infinito presentano una singolarità essenziale, visto che intorno a $0$ sono sviluppabili in una banale serie di Mac Laurin... $e^z$ ha anch'essa una singolarità essenziale all'infinito (infatti $e^(1/z)$ ce l'ha in $0$).
Grazie... allora in pratica lo sviluppo p.es. f(z) = z^n / n! è lo sviluppo di e^z intorno a 0 e anche di e^(1/z) intorno a inf??
Grazie... allora in pratica lo sviluppo p.es. f(z) = z^n / n! è lo sviluppo di e^z intorno a 0 e anche di e^(1/z) intorno a inf??
No!
Poi scusa...che senso ha fare lo sviluppo in serie di una funzione in un intorno di infinito?
La funzione $ e^(1/z)$ in un intorno di zero si può sviluppare così: $ \sum (1/z)^n 1/{n!}$
Da qui appunto si nota che z=0 è una discontinuità essenziale per la funzione $ e^(1/z)$
Giusto... insomma non c'è un vero e proprio sviluppo intorno al'infinito, solo si studia il comportamento dello sviluppo per z0->inf.. ??
Quindi $f(z)$ è olomorfa all'infinito se nel suo sviluppo di Laurent (detti $c_n$ i coefficienti della serie) risulta $c_n=0 AAn>0$,Quale sviluppo?? Centrato in quale punto? Scusate, ma ho trovato proprio pochissime tracce sull'argomento nei testi... una dim per il teo di Liouville dice che se una fnz è olomorfa in C e all'inf allora è costante, perchè una funz olomorfa in C ha tutti i termini dello sviluppo di Laurent nulli per n<0 mentre una funz ol in inf tutti i coefficienti nulli per n>0, quindi f(z) = a0... non mi è chiaro quale sviluppo si deve considerare...
Non c'è uno sviluppo intorno a $oo$, però puoi valutare il comportamento di una funzione all'infinito e vedere se essa è olomorfa... puoi considerarne lo sviluppo intorno a qualunque punto (per semplicità prendi quello di punto iniziale $0$).
Forse ci sono... Prendiamo una funz f(z), olomorfa in C. Il suo sviluppo di Laurent si riduce a una serie di Taylor Somma tra 0 e inf ( an (z-z0)^n ). Al lim per z0->inf la somma dei termini con esponente positivo diverge o non esiste (parte singolare all'infinito). Se f(z) per ipotesi è olomorfa anche nel punto inf allora pe z0->inf tutti i termini an si annullano per n>0, in modo che la parte singolare abia somma 0. In questo modo la somma resta composta solo dal termine a0, quindi f(z) è costante.
Giusto? E' z0 o z che ->inf??
Giusto? E' z0 o z che ->inf??
è $z$ che deve tendere a $oo$... $z_0$ lo puoi scegliere arbitrario e per semplicità prendilo uguale a $0$
grazie, ora mi è più chiaro... studiare l'olomorfia all'infinito significa studiare il comportamento di f(z), e in particolare della parte con esponenti negativi... se f(z) = (sviluppo di Laurent) = N(z) + a0 + P(z), la parte P(z) non converge per z->inf, quindi f può essere olomorfa all'inf solo se P(z) è nulla.. ancora se N(z) è nulla perchè f è olomorfa in C l'unico termine dello sviluppo è a0, quindi f(z) = costante.
E' giusto prendere in considerazione le du condizioni contemporaneamente? Quello che mi dava più dubbi dall'inizio era che la cosa si potesse fare per ogni sviluppo di Laurent... ora sapendo che uno sviluppo all'inf non esiste mi è meno difficile accettarlo...
E' giusto prendere in considerazione le du condizioni contemporaneamente? Quello che mi dava più dubbi dall'inizio era che la cosa si potesse fare per ogni sviluppo di Laurent... ora sapendo che uno sviluppo all'inf non esiste mi è meno difficile accettarlo...
Certo che è giusto prendere le due condizioni contemporaneamente... azzerando i termini per $n<0$ ti assicuri che la funzione sia olomorfa al finito, azzerando quelli per $n>0$ ti assicuri dell'olomorfia all'infinito
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