Ordinamento immagine e controimmagine di una funzione
Salve a tutti,
oggi mi sono imbattuto in questa proprietà di cui vorrei sapere il nome, se ne ha uno:
\(\displaystyle x \leq f(x) \)
cioè, l'immagine di x secondo f è sempre maggiore od uguale ad x, per ogni elemento x nel dominio di f, assumento che esista una relazione d'ordine \(\displaystyle \leq \) tra gli elementi del dominio e del codominio di f.
La mia curiosità nasce da una proprietà simile dell'addizione sui numeri naturali, cioè che la somma di due naturali qualsiasi è sempre maggiore od uguale ad entrambi gli addendi. Questo è vero per il monoide \(\displaystyle (\mathbb{N},+) \), ma non ad esempio per \((\mathbb{Z},+) \), dove abbiamo anche numeri negativi.
Ho cercato per qualche ora ma non sono riuscito a trovare menzione di questa proprietà da nessuna parte, posto che abbia un nome (ma almeno nella formulazione \(\displaystyle x \leq f(x) \) credo di averla già vista). SUggerimenti?
oggi mi sono imbattuto in questa proprietà di cui vorrei sapere il nome, se ne ha uno:
\(\displaystyle x \leq f(x) \)
cioè, l'immagine di x secondo f è sempre maggiore od uguale ad x, per ogni elemento x nel dominio di f, assumento che esista una relazione d'ordine \(\displaystyle \leq \) tra gli elementi del dominio e del codominio di f.
La mia curiosità nasce da una proprietà simile dell'addizione sui numeri naturali, cioè che la somma di due naturali qualsiasi è sempre maggiore od uguale ad entrambi gli addendi. Questo è vero per il monoide \(\displaystyle (\mathbb{N},+) \), ma non ad esempio per \((\mathbb{Z},+) \), dove abbiamo anche numeri negativi.
Ho cercato per qualche ora ma non sono riuscito a trovare menzione di questa proprietà da nessuna parte, posto che abbia un nome (ma almeno nella formulazione \(\displaystyle x \leq f(x) \) credo di averla già vista). SUggerimenti?
Risposte
Ciao Grace e benvenuto sul forum.
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge...
ma non sono d'accordo:
se prendiamo per esempio la funzione
$f(x)=1/2x$
l'immagine di $x_0$ è sempre minore di $x_0$ se $x_0in RR^+$
$f(x_0)
viceversa è sempre maggiore se $x_0 in RR^-$
$f(x_0)>x_0 if x_0 in RR^-$
sono uguali si $x_0=0$
$f(0)=0$
PS stiamo parlando di funzioni di variabile reale, giusto?
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge...
ma non sono d'accordo:
"grace.malibran":
oggi mi sono imbattuto in questa proprietà di cui vorrei sapere il nome, se ne ha uno:
\(\displaystyle x \leq f(x) \)
cioè, l'immagine di x secondo f è sempre maggiore od uguale ad x, per ogni elemento x nel dominio di f, assumento che esista una relazione d'ordine \(\displaystyle \leq \) tra gli elementi del dominio e del codominio di f.
se prendiamo per esempio la funzione
$f(x)=1/2x$
l'immagine di $x_0$ è sempre minore di $x_0$ se $x_0in RR^+$
$f(x_0)
viceversa è sempre maggiore se $x_0 in RR^-$
$f(x_0)>x_0 if x_0 in RR^-$
sono uguali si $x_0=0$
$f(0)=0$
PS stiamo parlando di funzioni di variabile reale, giusto?
$f: ZZ->ZZ$
$z->-z$
Direi che la tua proposizione è falsa, infatti:
$1≥f(1)=-1$.
$z->-z$
Direi che la tua proposizione è falsa, infatti:
$1≥f(1)=-1$.
Innanzi tutto grazie delle risposte.
Non capisco quando dite che la proposizione è falsa: io non dico che la proprietà (chiamiamola P) è valida, dico solo che esistono funzioni che godono di P. Ad esempio \(\displaystyle f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle n \mapsto n+1 \).
Mi chiedo semplicemente se questa proprietà ha un nome, mi sembra di averla già vista da qualche parte, ma non riesco a ricordare. Non parlo di funzioni di variabile reale, parlo di funzioni in generale tali che ci sia una relazione d'ordine tra dominio e codominio.
Spero la domanda sia più chiara.
Non capisco quando dite che la proposizione è falsa: io non dico che la proprietà (chiamiamola P) è valida, dico solo che esistono funzioni che godono di P. Ad esempio \(\displaystyle f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle n \mapsto n+1 \).
Mi chiedo semplicemente se questa proprietà ha un nome, mi sembra di averla già vista da qualche parte, ma non riesco a ricordare. Non parlo di funzioni di variabile reale, parlo di funzioni in generale tali che ci sia una relazione d'ordine tra dominio e codominio.
Spero la domanda sia più chiara.
Dopo affannoso cercare ho trovato una pista: nella letteratura sul teorema di Knaster-Tarski una funzione monotona \(\displaystyle f: L \rightarrow L \) su un reticolo completo \(\displaystyle (L, \sqsubseteq) \) tale che \(\displaystyle f(x) \sqsupseteq x \) è chiamata estensiva (extensive function), riduttiva nell'altro caso.
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