Ordinamento dei numeri complessi
salve scusate stavo leggendo su Wikipedia che i numeri complessi non sono ordinati perché " i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche" e se non ho capito male vuol dire che io ad esempio non posso confrontare due numeri complessi perchè ad esempio non so se i=<>0, ma poi wikipedia dice che"Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato" ecco quindi mi sorge il dubbio allora non ho capito nulla, mi potete aiutare a capire grazie.
Risposte
Ti mancano dei pezzi, ma è una cosa che ciclicamente ritorna in questo forum.
I numeri reali si possono ordinare totalmente.
Se assumi l'assioma della scelta, ogni insieme si può bene ordinare (quindi in particolare si può ordinare totalmente).
$CC$ è un insieme; $CC$ si può bene ordinare.
Quello che non puoi fare è ordinare i numeri complessi facendo sì che quando restringi l'ordine su $CC$ ad un ordine su $RR\subset CC$ esso coincida con quello naturale su $RR$. In $CC$ tutti i numeri sono quadrati, ma in un campo ordinato i quadrati _devono_ essere positivi, quindi ad esempio \(-1 > 0\); ecco che non è possibile estendere l'ordine su $RR$ ad un ordine su $CC$.
I numeri reali si possono ordinare totalmente.
Se assumi l'assioma della scelta, ogni insieme si può bene ordinare (quindi in particolare si può ordinare totalmente).
$CC$ è un insieme; $CC$ si può bene ordinare.
Quello che non puoi fare è ordinare i numeri complessi facendo sì che quando restringi l'ordine su $CC$ ad un ordine su $RR\subset CC$ esso coincida con quello naturale su $RR$. In $CC$ tutti i numeri sono quadrati, ma in un campo ordinato i quadrati _devono_ essere positivi, quindi ad esempio \(-1 > 0\); ecco che non è possibile estendere l'ordine su $RR$ ad un ordine su $CC$.
Per esempio su \(\mathbb C\) puoi metterci l'ordine alfabetico, dichiarando che
\[
x_1+iy_1 \le x_2+iy_2\quad \iff \quad x_1\le x_2\ \text{oppure}\ x_1=x_2\ \text{e}\ y_1\le y_2.\]
Questo è un ordine totale, ma non c'entra assolutamente nulla con le operazioni, compatibilmente con quanto dice KB.
viewtopic.php?f=37&t=39650
\[
x_1+iy_1 \le x_2+iy_2\quad \iff \quad x_1\le x_2\ \text{oppure}\ x_1=x_2\ \text{e}\ y_1\le y_2.\]
Questo è un ordine totale, ma non c'entra assolutamente nulla con le operazioni, compatibilmente con quanto dice KB.
viewtopic.php?f=37&t=39650
grazie per la risposta mi sono perso un po nell'assioma di scelta(che non so esattamente cosa sia) e il link che mi hai dato parte ordine totale e ordine stretto e non so che differenza ci sia io come concetto di ordine ho che, se riesco a stabilire in un insieme di numeri chi è più grande di tutti allora posso metterli in fila in ordine, forse non mi è chiaro questo. grazie comunque ora tento di studiare questo assioma e vedere se riesco a capire l'ordine totale
Ordine stretto è semplicemente la generalizzazione della relazione \(<\) di numeri reali. Significa che se \(a
Invece il concetto di "ordine totale" è più sottile e importante. L'assioma della scelta è una cosa che ti permette di metterti nella massima generalità, come piace a KB, ma qui non è strettamente necessario.
Invece il concetto di "ordine totale" è più sottile e importante. L'assioma della scelta è una cosa che ti permette di metterti nella massima generalità, come piace a KB, ma qui non è strettamente necessario.
"dissonance":
Invece il concetto di "ordine totale" è più sottile e importante. L'assioma della scelta è una cosa che ti permette di metterti nella massima generalità, come piace a KB, ma qui non è strettamente necessario.
Sebbene sia d'accordo che non serva sapere cos'è l'assioma della scelta, per capire questo argomento, esso è necessario per poter ordinare $RR$... quindi non è un vezzo di generalità eccessiva, è proprio un'ipotesi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo