Operazioni tra vettori
Dati i vettori $v=2i-j+k$ e $w=i+j$, calcolare il prodotto scalare $$, qual'è l'angolo formato tra i due vettori, calcolare il prodotto vettoriale $v^^w$ e il prodotto misto $$.
Posto che un vettore sia nella forma $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ oppure nella forma $x=(x_1i+y_1j)$ dove $i,j$ sono i versori.
Nell'esercizio il vettore $v$ che vettore è? Un vettore in $RR^3$ o cosa? Il vettore $w$ risponde alla definizione precedente, ma il vettore $v$ non mi sembra... potreste chiarirmi un attimo le idee???
Grazie in anticipo.
Posto che un vettore sia nella forma $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ oppure nella forma $x=(x_1i+y_1j)$ dove $i,j$ sono i versori.
Nell'esercizio il vettore $v$ che vettore è? Un vettore in $RR^3$ o cosa? Il vettore $w$ risponde alla definizione precedente, ma il vettore $v$ non mi sembra... potreste chiarirmi un attimo le idee???
Grazie in anticipo.
Risposte
$\{i,j,k\}$ è una notazione per la base canonica di $\mathbb{R}^3$. 
Paola
Paola
Ok, faccio la domanda stupida: ma allora posso fare il prodotto scalare tra un vettore in $RR^2$ e un vettore in $RR^3$? O non ho capito nulla????
No, certo che non si può!
Semplicemente il vettore $w$ avrà coordinate $(1,1,0)$ rispetto alla base canonica.
Paola
Semplicemente il vettore $w$ avrà coordinate $(1,1,0)$ rispetto alla base canonica.
Paola
Ah! Ok, non ci avevo proprio pensato. Grazie Paola 
Di questo esercizio sono riuscito a fare il prodotto scalare $=2i*i +(-1)+0=2-1=1$
e il prodotto vettoriale $v^^w=(-i*0-k*j)+(k*i-2i*0)+(2i*j+j*i)=-i+j+2k+k=-i+j+3k$
Ma non capisco come effettuare il prodotto misto $$; $k$ è non dovrebbe essere un vettore nell'operazione di prodotto scalare? Questo $k$ però sembra sia il versore e la cosa mi confonde.
e il prodotto vettoriale $v^^w=(-i*0-k*j)+(k*i-2i*0)+(2i*j+j*i)=-i+j+2k+k=-i+j+3k$
Ma non capisco come effettuare il prodotto misto $
Versore significa semplicemente vettore con norma $1$ . $k=(0,0,1)$.
Paola
. $k=(0,0,1)$.Paola
Si, si, che il versore sia un vettore di modulo 1, o norma 1, l'ho capito, solo che mi sono fatto condizionare dal fatto che i vettori $v$ e $w$ nell'esercizio sono definiti, mentre $k$ no 
Però ora mi sorge un altro dubbio: se un versore è un vettore $|v|=1$, può essere espresso anche come $v=(1,0,0)$ o $v=(0,1,0)$ oltre al "tuo" $v=(0,0,1)$?
In fondo la norma di $|((1,0,0))|=sqrt(<(1,0,0),(1,0,0)>)=sqrt(1+0+0)=1$ e $|((0,1,0))|=sqrt(<(0,1,0),(0,1,0)>)=sqrt(0+1+0)=1$
Giusto?
PS. grazie Paola per l'aiuto
Però ora mi sorge un altro dubbio: se un versore è un vettore $|v|=1$, può essere espresso anche come $v=(1,0,0)$ o $v=(0,1,0)$ oltre al "tuo" $v=(0,0,1)$?
In fondo la norma di $|((1,0,0))|=sqrt(<(1,0,0),(1,0,0)>)=sqrt(1+0+0)=1$ e $|((0,1,0))|=sqrt(<(0,1,0),(0,1,0)>)=sqrt(0+1+0)=1$
Giusto?
PS. grazie Paola per l'aiuto
Un versore è un qualunque vettore che abbia norma $1$.
In $RR^3$ non ci sono solo $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$
i vettori $ul(v)_1=(1/sqrt2,1/sqrt2,0)$, $ul(v)_2=(1/sqrt3, - 1/sqrt3,1/sqrt3)$, $ul(v)_3=(1/sqrt6, -1/sqrt2,1/sqrt3)$ sono tutti versori.
In $RR^3$ non ci sono solo $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$
i vettori $ul(v)_1=(1/sqrt2,1/sqrt2,0)$, $ul(v)_2=(1/sqrt3, - 1/sqrt3,1/sqrt3)$, $ul(v)_3=(1/sqrt6, -1/sqrt2,1/sqrt3)$ sono tutti versori.
Ok. Io ho usato quegli esempi giusto per "riprendere" quello di Paola.
Grazie Gi8, poi vedo di riportare la soluzione dell'esercizio, giusto come riferimento.
Grazie Gi8, poi vedo di riportare la soluzione dell'esercizio, giusto come riferimento.
Ritornando all'esercizio, l'angolo tra i due vettore lo calcolo a partire dalla definizione di prodotto scalare:
$:=||v||*||w||*cos(phi)$
da cui $phi:=arcos(1/(2sqrt(3)))$
Invece per il prodotto misto non so come procedere, o meglio dato che il versore $k$ può essere definito a piacimento, come lo posso scegliere affinché $$ sia corretto?
$
da cui $phi:=arcos(1/(2sqrt(3)))$
Invece per il prodotto misto non so come procedere, o meglio dato che il versore $k$ può essere definito a piacimento, come lo posso scegliere affinché $
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