Operazioni lineari e non lineari
Quali sono le operazioni lineari e quelle non lineari?
Come distinguerle?
Come distinguerle?
Risposte
Non ho ben capito la domanda, puoi spiegarti meglio?
(magari fai degli esempi)
(magari fai degli esempi)
vorrei sapere quando una operazione è possibile definirla "lineare" e quando "non lineare".
Per esempio il mio libro recita che le radici quadrate e i valori assoluti sono delle operazioni non lineari, vorrei sapere come si fa a dire ciò e quali sono le operazioni lineari
Per esempio il mio libro recita che le radici quadrate e i valori assoluti sono delle operazioni non lineari, vorrei sapere come si fa a dire ciò e quali sono le operazioni lineari
L'aggettivo lineare assume significati leggermente diversi a seconda dell'ente matematico a cui è riferito. Grossomodo, una applicazione lineare tra due strutture algebriche (e.g. gruppi, anelli, spazi vettoriali...) è un'applicazione che conserva le operazioni definite sulle stesse, nel senso che "trasforma" le operazioni dello spazio di partenza in quelle dello spazio d'arrivo.
Per esempio, se $(G_1,\star_1)$, $(G_2, \star_2)$ sono due gruppi, un'applicazione $\phi:G_1\to G_2$ si dice lineare (o che è un omomorfismo di gruppi) se soddisfa la seguente proprietà:
\[\forall x,y\in G_1,\qquad \varphi(x\star_1 y)=\varphi(x)\star_2\varphi(y)\]
Ancor più nello specifico, se $(G_1,\star_1)=(G_2,\star_2)=(RR,+)$, una applicazione $f:(RR,+)\to (RR,+)$ è lineare se
\[\forall x,y\in \mathbb{R},\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)\]
Alcune* funzioni reali che soddisfano questa proprietà sono del tipo $f(x):=\alpha x$, con $\alpha\in RR$ (se $x,y\in RR$, si ha $f(x+y)=\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y=f(x)+f(y)$).
Detto questo, è probabile che il tuo attribuisca una sfumatura leggermente diversa all'aggettivo lineare, attribuendolo magari a funzioni $f:A\subseteq RR\to RR$ (non più da $RR$ in $RR$, non parliamo più di omomorfismi di gruppi) che soddisfano la proprietà
\[\forall x,y\in A,\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)\]
Proprietà, questa, che non è propria né della radice quadrata né del valore assoluto (cosa di cui puoi convincerti facilmente, se non ne sei già convinto).
D'altra parte, pensate come applicazioni $(RR^+,\cdot)\to (RR^+,\cdot)$ (nel caso del valore assoluto anche come applicazione da $(RR\setminus\{0\},\cdot)$ in sè), sia la radice che il valore assoluto meritano di essere dette lineari, giacché si ha $\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}*\sqrt{y}$ e $|x*y|=|x|*|y|$.
In sostanza, c'è da mettersi d'accordo su cosa si intende per lineare.
__________________________
[size=85]*in realtà si dimostra le funzioni lineari continue sono tutte e sole le funzioni del tipo $f(x):=\alpha x$.[/size]
Per esempio, se $(G_1,\star_1)$, $(G_2, \star_2)$ sono due gruppi, un'applicazione $\phi:G_1\to G_2$ si dice lineare (o che è un omomorfismo di gruppi) se soddisfa la seguente proprietà:
\[\forall x,y\in G_1,\qquad \varphi(x\star_1 y)=\varphi(x)\star_2\varphi(y)\]
Ancor più nello specifico, se $(G_1,\star_1)=(G_2,\star_2)=(RR,+)$, una applicazione $f:(RR,+)\to (RR,+)$ è lineare se
\[\forall x,y\in \mathbb{R},\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)\]
Alcune* funzioni reali che soddisfano questa proprietà sono del tipo $f(x):=\alpha x$, con $\alpha\in RR$ (se $x,y\in RR$, si ha $f(x+y)=\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y=f(x)+f(y)$).
Detto questo, è probabile che il tuo attribuisca una sfumatura leggermente diversa all'aggettivo lineare, attribuendolo magari a funzioni $f:A\subseteq RR\to RR$ (non più da $RR$ in $RR$, non parliamo più di omomorfismi di gruppi) che soddisfano la proprietà
\[\forall x,y\in A,\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)\]
Proprietà, questa, che non è propria né della radice quadrata né del valore assoluto (cosa di cui puoi convincerti facilmente, se non ne sei già convinto).
D'altra parte, pensate come applicazioni $(RR^+,\cdot)\to (RR^+,\cdot)$ (nel caso del valore assoluto anche come applicazione da $(RR\setminus\{0\},\cdot)$ in sè), sia la radice che il valore assoluto meritano di essere dette lineari, giacché si ha $\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}*\sqrt{y}$ e $|x*y|=|x|*|y|$.
In sostanza, c'è da mettersi d'accordo su cosa si intende per lineare.
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[size=85]*in realtà si dimostra le funzioni lineari continue sono tutte e sole le funzioni del tipo $f(x):=\alpha x$.[/size]
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