Operatori su spazio di Hilbert, esercizio.
Ho un dubbio su questo esercizio:
Sia ${a_n}sub CC$ una successione limitata, ${e_n} sub H$ una base ortonormale definiamo esiste un operatore limitato su $H$ tale che $Ae_n=a_n*e_n$ chiamato "unilater weighted shift" (in cerca di equivalente italiano
). Per ogni operatore di questo tipo e $lambda in CC " t.c. " |lambda|=1$ esiste un operatore unitario $U$ tale che $UAU^(-1)=lambda*A$
Ho provato a risolverlo e non riuscivo, ho tentato con qualche successione particolare a vedere se riuscivo a costruire l'unitario a mano ma non sono riuscito.
Se prendo la successione ${1} sub CC$ ottengo l'identità e dovrei avere $I=lambda*I$ per ogni $|lambda|=1$
Qualcuno mi conferma che non funziona o mi dice se ho sbagliato?
Sia ${a_n}sub CC$ una successione limitata, ${e_n} sub H$ una base ortonormale definiamo esiste un operatore limitato su $H$ tale che $Ae_n=a_n*e_n$ chiamato "unilater weighted shift" (in cerca di equivalente italiano
). Per ogni operatore di questo tipo e $lambda in CC " t.c. " |lambda|=1$ esiste un operatore unitario $U$ tale che $UAU^(-1)=lambda*A$Ho provato a risolverlo e non riuscivo, ho tentato con qualche successione particolare a vedere se riuscivo a costruire l'unitario a mano ma non sono riuscito.
Se prendo la successione ${1} sub CC$ ottengo l'identità e dovrei avere $I=lambda*I$ per ogni $|lambda|=1$
Qualcuno mi conferma che non funziona o mi dice se ho sbagliato?
Risposte
Un'idea che potrebbe essere praticabile.
Prova a ragionare restringendoti agli elementi di una successione crescente di sottospazi, ad esempio $H_n:="span"\{e_1,\ldots ,e_n\}$.
Ponendo $A_n=A|_(H_n)$ (restrizione di $A$ ad $H_n$), l'operatore $A_n$ è a rango finito e fissa $H_n$ poichè invero risulta $A_n(H_n)=H_n$; in più $A_n$ si rappresenta in $\{e_1,\ldots ,e_n\}$ con la matrice diagonale:
$D_n=((a_1, 0, \ldots ,0),(0,a_2,\ldots ,0),(\vdots , \vdots, \ddots , \vdots),(0,0,\ldots ,a_n)) \quad$;
inoltre $A_n \to A$ (almeno puntualmente; dovresti verificare se $A_n\to A$ nel senso di $L(H)$*).
Si tratterebbe allora provare gli $A_n$ sono unitariamente diagonalizzabili, ossia se in corrispondenza di $lambda$ con $|lambda|=1$ esiste $U_n$ tale che $U_nA_nU_n^(-1)=lambda A_n$, e che la successione di operatori $(U_n)_(n \in NN)$ è convergente in $L(H)$.
__________
* Qui $L(H)$ è l'insieme degli operatori lineari e continui di $H$ in sé.
Prova a ragionare restringendoti agli elementi di una successione crescente di sottospazi, ad esempio $H_n:="span"\{e_1,\ldots ,e_n\}$.
Ponendo $A_n=A|_(H_n)$ (restrizione di $A$ ad $H_n$), l'operatore $A_n$ è a rango finito e fissa $H_n$ poichè invero risulta $A_n(H_n)=H_n$; in più $A_n$ si rappresenta in $\{e_1,\ldots ,e_n\}$ con la matrice diagonale:
$D_n=((a_1, 0, \ldots ,0),(0,a_2,\ldots ,0),(\vdots , \vdots, \ddots , \vdots),(0,0,\ldots ,a_n)) \quad$;
inoltre $A_n \to A$ (almeno puntualmente; dovresti verificare se $A_n\to A$ nel senso di $L(H)$*).
Si tratterebbe allora provare gli $A_n$ sono unitariamente diagonalizzabili, ossia se in corrispondenza di $lambda$ con $|lambda|=1$ esiste $U_n$ tale che $U_nA_nU_n^(-1)=lambda A_n$, e che la successione di operatori $(U_n)_(n \in NN)$ è convergente in $L(H)$.
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* Qui $L(H)$ è l'insieme degli operatori lineari e continui di $H$ in sé.
Non sono ancora riuscito ma grazie
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