Operatori simmetrici / Operatori autoaggiunti
Mi sto dedicando allo studio degli operatori non limitati negli spazi di Hilbert. Ma mi sono accorto di non avere colto bene la differenza tra il concetto di operatore simmetrico e quello di operatore autoaggiunto. Soprattutto non riesco a capire una cosa:
prendiamo un operatore [tex]A[/tex], densamente definito e simmetrico, ovvero [tex]A \subset A^\star[/tex]. Non è detto che esso sia autoaggiunto e questo l'ho capito. Ma sicuramente si tratta di un operatore chiudibile: la chiusura di [tex]A[/tex] ha obbligo di essere un operatore autoaggiunto o no?
P.S.: La risposta è no. Certamente la chiusura di [tex]A[/tex] è anch'essa simmetrica, come si ottiene da [tex]A \subset A^\star[/tex] ricordando che [tex]A^{\star \star}=\overline{A}[/tex] e che [tex]A \subset B \Rightarrow B^\star \subset A^\star[/tex]. Però non basta a concludere che la chiusura è autoaggiunta.
Se qualcuno conosce un controesempio non troppo tragico e ha voglia di esporlo mi farebbe un piacere. Altrimenti dovrò cercare sul libro di Rudin.
prendiamo un operatore [tex]A[/tex], densamente definito e simmetrico, ovvero [tex]A \subset A^\star[/tex]. Non è detto che esso sia autoaggiunto e questo l'ho capito. Ma sicuramente si tratta di un operatore chiudibile: la chiusura di [tex]A[/tex] ha obbligo di essere un operatore autoaggiunto o no?
P.S.: La risposta è no. Certamente la chiusura di [tex]A[/tex] è anch'essa simmetrica, come si ottiene da [tex]A \subset A^\star[/tex] ricordando che [tex]A^{\star \star}=\overline{A}[/tex] e che [tex]A \subset B \Rightarrow B^\star \subset A^\star[/tex]. Però non basta a concludere che la chiusura è autoaggiunta.
Se qualcuno conosce un controesempio non troppo tragico e ha voglia di esporlo mi farebbe un piacere. Altrimenti dovrò cercare sul libro di Rudin.
Risposte
Forse quello che scrivo ti è già noto. Se $A$ è densamente definito e simmetrico, allora [tex]A \subset \overline A = A^{\star\star} \subset A^\star[/tex].
Il fatto che $\overline A$ sia autoaggiunto corrisponde al fatto che $A$ sia essenzialmente autoaggiunto ($A$ è detto essenzialmente autoaggiunto se è densamente definito, simmetrico e [tex]A \subset A^{\star\star} = A^\star[/tex]). Infatti se $A$ è essenzialmente autoaggiunto allora [tex]\overline A = A^\star[/tex] è autoaggiunto, viceversa se $\overline A$ è autoaggiunto allora [tex]A^\star = \overline{A^\star} = (\overline A)^\star = \overline A = A^{\star\star}[/tex], ossia $A$ è essenzialmente autoaggiunto.
Dunque è sufficiente trovare un operatore densamente definito, simmetrico e non essenzialmente autoaggiunto. Si mostra facilmente che se $A$ è essenzialmente autoaggiunto, allora $A$ ha un'unica estensione autoaggiunta, data da [tex]\overline A = A^\star[/tex]. Basta quindi trovare un operatore densamente definito, simmetrico e avente più di una estensione autoaggiunta. Ad esempio, [tex]A : \{ f \in C^1[0,1] : f(0) = f(1) = 0 \} \to L^2[0,1][/tex] tale che [tex]f \mapsto Bf := -if'[/tex] è simmetrico ma non essenzialmente autoaggiunto, in quanto ammette (ad esempio) come estensioni autoaggiunte gli operatori [tex]B^\star[/tex] e [tex]C^\star[/tex], ove [tex]B : \{ f \in C^1[0,1] : f(0) = f(1) \} \to L^2[0,1][/tex] e [tex]C : \{ f \in C^1[0,1] : f(0) = -f(1) \} \to L^2[0,1][/tex], con [tex]f \mapsto Bf := -if'[/tex], [tex]f \mapsto Cf := -if'[/tex].
Il fatto che $\overline A$ sia autoaggiunto corrisponde al fatto che $A$ sia essenzialmente autoaggiunto ($A$ è detto essenzialmente autoaggiunto se è densamente definito, simmetrico e [tex]A \subset A^{\star\star} = A^\star[/tex]). Infatti se $A$ è essenzialmente autoaggiunto allora [tex]\overline A = A^\star[/tex] è autoaggiunto, viceversa se $\overline A$ è autoaggiunto allora [tex]A^\star = \overline{A^\star} = (\overline A)^\star = \overline A = A^{\star\star}[/tex], ossia $A$ è essenzialmente autoaggiunto.
Dunque è sufficiente trovare un operatore densamente definito, simmetrico e non essenzialmente autoaggiunto. Si mostra facilmente che se $A$ è essenzialmente autoaggiunto, allora $A$ ha un'unica estensione autoaggiunta, data da [tex]\overline A = A^\star[/tex]. Basta quindi trovare un operatore densamente definito, simmetrico e avente più di una estensione autoaggiunta. Ad esempio, [tex]A : \{ f \in C^1[0,1] : f(0) = f(1) = 0 \} \to L^2[0,1][/tex] tale che [tex]f \mapsto Bf := -if'[/tex] è simmetrico ma non essenzialmente autoaggiunto, in quanto ammette (ad esempio) come estensioni autoaggiunte gli operatori [tex]B^\star[/tex] e [tex]C^\star[/tex], ove [tex]B : \{ f \in C^1[0,1] : f(0) = f(1) \} \to L^2[0,1][/tex] e [tex]C : \{ f \in C^1[0,1] : f(0) = -f(1) \} \to L^2[0,1][/tex], con [tex]f \mapsto Bf := -if'[/tex], [tex]f \mapsto Cf := -if'[/tex].
Certo, mi convince perfettamente. Anzi, l'operatore [tex]A[/tex] è anche chiuso, come ho scoperto stamattina leggendo il libro di Rudin Functional analysis (Example 13.4 pag. 349 - nel testo [tex]A[/tex] corrisponde all'operatore [tex]T_3[/tex] e si dimostra che [tex]T_3=T_1^\star[/tex], dove [tex]D(T_1)[/tex] è lo spazio delle funzioni assolutamente continue con derivata [tex]L^2[/tex]).
Quindi non è questione di chiusura: ovvero
"Se un operatore decide di non essere autoaggiunto, non è chiudendolo che risolveremo il problema".
_______________
Ti ringrazio per l'ottimo esempio e per l'osservazione
che avevo trovato scritta ma alla quale non avevo dato importanza.
Quindi non è questione di chiusura: ovvero
"Se un operatore decide di non essere autoaggiunto, non è chiudendolo che risolveremo il problema".
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Ti ringrazio per l'ottimo esempio e per l'osservazione
Si mostra facilmente che se A è essenzialmente autoaggiunto, allora A ha un'unica estensione autoaggiunta
che avevo trovato scritta ma alla quale non avevo dato importanza.
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