Operatori lineari tra spazi normati, completezza

[eliotsbowe]

Salve, sono alle prese con l'esame di analisi funzionale e ho un paio di dubbi che mi piacerebbe chiarire.

1) Risolto (many thanks to gugo82)

Dati due spazi normati X,Y, dato un operatore T:X->Y lineare, come definisco l'immagine attraverso T di un punto di X se T non è continuo? Mi spiego meglio con un esempio.
Per dimostrare che un operatore lineare su uno spazio normato di dimensione finita è continuo, si dà la seguente dimostrazione (mi si consenta di postarla con un'immagine per brevità):


(fonte: qui)

Dato che a priori l'operatore T non è continuo su X, come definisco [tex]T e_k[/tex] al variare di k e come posso affermare che tale quantità sia limitata in norma se non so che T è limitato (continuo)?

Lo stesso dubbio si estende anche ai funzionali. Per esempio, dato un funzionale lineare f (non identicamente nullo) su uno spazio normato X, dato uno scalare a, si definisce iperpiano di equazione f(x) = a l'insieme:
[tex]H = \left \{ x \in X : f(x) = a) \right \}[/tex]
Ora, se f non è continuo, come faccio a definire il suo valore in un punto [tex]x \in X[/tex] per valutare l'appartenenza di quest'ultimo all'iperpiano H?

2) Risolto


Grazie anticipatamente.

[gugo82]

Non vedo cosa c'entri la continuità con la possibilità di calcolare \(Tx\)... Insomma l'operatore \(T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definito ponendo:
\[
Tx:=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\in \mathbb{Q}\\
1 &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}
\end{cases}
\]
non è continuo, ma \(Tx\) lo riesco a calcolare lo stesso, no?

[eliotsbowe]

Ti ringrazio per la risposta. Il tuo esempio mi convince e forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Ma mi chiedo: esiste la possibilità che in corrispondenza di un certo vettore dello spazio normato "di partenza" un operatore diverga o che tale vettore sia un punto di discontinuità? O questi concetti appartengono "ad un altro mondo"?

[gugo82]

Ma scusami... Un operatore è una funzione, nelle ipotesi poste, di \(X\) in \(Y\), perciò essa è definita su tutto lo spazio di partenza \(X\).
Perché non dovrebbe essere possibile calcolarne il valore in qualche vettore del suo dominio?

[eliotsbowe]

"gugo82":Ma scusami... Un operatore è una funzione, nelle ipotesi poste, di \(X\) in \(Y\), perciò essa è definita su tutto lo spazio di partenza \(X\).
Perché non dovrebbe essere possibile calcolarne il valore in qualche vettore del suo dominio?

Ok, grazie, credo di essermi convinto. Mi sembra remota anche la possibilità che un operatore lineare, definito su tutto X a dimensione finita, possa divergere in corrispondenza di un vettore di X. Per esempio l'operatore che ad x associa [tex]\frac{1}{x - e_k}[/tex] con [tex]e_k[/tex] elemento della base di X (per considerare un caso vicino alla dimostrazione 1) da cui è nato il mio dubbio) diverge in [tex]x = e_k[/tex] ma non è lineare.

[gugo82]

Ma come fai a definire il reciproco di un vettore?
Voglio saperlo pure io...

[eliotsbowe]

Mmm... in effetti ci stavo ripensando anche io, ho detto una cazzata di dimensione infinita (si può dire "dimensione infinita" alle 00:55?). A parte gli scherzi, devo ritornare al passo precedente. Assodato che l'operatore lineare sia definito in tutto lo spazio - domanda da un milion di dollari - è possibile che in corrisondenza di un punto dello spazio esso diverga?

[gugo82]

Dovresti precisare cosa intendi per divergere in uno spazio vettoriale normato... Ma comunque sì, si possono avere comportamenti "strani".

Ad esempio, prendi \(X:=c_{00}\), in cui \(c_{00}\) è lo spazio delle successioni a valori reali che sono nulle da un certo indice in poi, nel senso che:
\[
\mathbf{x} :=(x_n)\in c_{00} \quad \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow}\quad \exists \nu\in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ x_n=0\; ,
\]
e normalo con la norma dell'estremo superiore, cioé:
\[
\|\mathbf{x}\|_\infty := \sup_{n\in \mathbb{N}} |x_n|\; .
\]
Se metti su \(c_{00}\) la somma di successioni ed il prodotto per lo scalare reale, ottieni uno spazio vettoriale normato.
Considera l'applicazione \(D: c_{00}\to c_{00}\) che agisce come segue:
\[
D\mathbf{x} := (nx_n) =(0,x_1,2x_2,3x_3,4x_4,\ldots ,nx_n,\ldots )\; ;
\]
non è difficile vedere che \(D\) è lineare.
Ora, prendi la successione di elementi \(\mathbf{x}^k\in c_{00}\) il cui generico elemento è del tipo:
\[
\mathbf{x}^k := \frac{1}{\sqrt{k}}\ \mathbf{e}^k = \Big(0,0,\ldots ,0,\underbrace{\quad \frac{1}{\sqrt{k}}\quad}_{k-\text{esimo posto}},0,\ldots ,0,\ldots \Big)\; ;
\]
calcoli:
\[
\begin{split}
D\mathbf{x}^k &= \Big(0,0,\ldots ,0,\underbrace{\quad \frac{k}{\sqrt{k}}\quad}_{k-\text{esimo posto}},0,\ldots ,0,\ldots \Big) \\
&= \Big(0,0,\ldots ,0,\underbrace{\quad \sqrt{k}\quad}_{k-\text{esimo posto}},0,\ldots ,0,\ldots \Big) \\
&= \sqrt{k}\ \mathbf{e}^k
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\left\| D\mathbf{x}^k\right\|_\infty = \sqrt{k}
\]
e dunque:
\[
\lim_k \left\| D\mathbf{x}^k\right\|_\infty = \lim_k \sqrt{k} =\infty\; .
\]
Dato che, invece, hai:
\[
\lim_k \left\| \mathbf{x}^k\right\|_\infty = \lim_k \frac{1}{k} =0\; ,
\]
risulta \(\mathbf{x}^k \to \mathbf{0}\), ove \(\mathbf{0}=(0,0,\ldots ,0,\ldots)\) è lo zero di \(c_{00}\).
Quindi hai trovato una successione di elementi \(\mathbf{x}^k\) di \(c_{00}\) che si accumula intorno a \(\mathbf{0}\) che viene trasformata dall'operatore lineare \(D\) in una successione "divergente" in \(c_{00}\).

Da questa considerazione segue immediatamente che l'operatore \(D\) non può essere limitato intorno a \(\mathbf{0}\): infatti, se per assurdo lo fosse, esisterebbe una costante \(M\geq 0\) tale che:
\[
\|D\mathbf{x}\|_\infty \leq M\ \| \mathbf{x}\|_\infty
\]
per ogni \(\mathbf{x}\in c_{00}\); ma allora dovrebbe essere pure:
\[
\|D\mathbf{x}^k\|_\infty \leq M\ \| \mathbf{x}^k\|_\infty
\]
per ogni indice \(k\) (gli \(\mathbf{x}^k\) sono quelli usati sopra, ovviamente) e ciò implicherebbe \(\lim_k \|D\mathbf{x}^k\|_\infty =0\). Ma ciò è palesemente assurdo, perché come già visto sopra è \(\lim_k \|D\mathbf{x}^k\|_\infty = \infty\).

[eliotsbowe]

Ti ringrazio per l'esempio. Ma se esiste, come elegantemente mostrato da te, la possibilità che un operatore lineare tra spazi normati "abbia comportamenti strani", è lecito chiedermi: perché, nella dimostrazione che ho postato nello spoiler del mio primo post, la norma di T calcolato nei vettori della base di X è finita?

[gugo82]

Semplicemente i \(T\mathbf{e}^n\) sono vettori di \(Y\), quindi ognuno di essi ha norma finita.

Vediamo nel dettaglio la dimostrazione di un fatto un po' più generale, cioé

Siano \(X\) ed \(Y\) spazi vettoriali normati e \(T:X\to Y\) lineare.
Se \(\dim X<\infty\), allora \(T\) è limitato e perciò continuo.

In altre parole vuoi dimostrare che ogni operatore lineare su uno spazio finito-dimensionale è continuo qualunque sia lo spazio normato d'arrivo... Ciò non è una cosa del tutto imprevedibile, poiché un operatore lineare su uno spazio finito-dimensionale agisce come un operatore matriciale dell'Algebra Lineare e, perciò, ha necessariamente tutte le componenti continue.

La dimotsrazione di questa banalissima proprietà si fonda sul fatto che \(X\) ha una base (nel senso dell'Algebra Lineare) formata da un numero finito di vettori.
Invero, sia \(\{\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^N\}\) una base di \(X\) e sia \(\mathbf{x}\) il generico vettore di \(X\). Per definizione esistono (e sono univocamente determinati) \(N\) scalari \(x_1,\ldots ,x_N\) tali che:
\[
\mathbf{x} = x_1\ \mathbf{e}^1 + x_2\ \mathbf{e}^2+\cdots +x_N\ \mathbf{e}^N\; ;
\]
allora per linearità si ha:
\[
T\mathbf{x} = x_1\ T\mathbf{e}^1 + x_2\ T\mathbf{e}^2+\cdots +x_N\ T\mathbf{e}^N
\]
con \(T\mathbf{e}^1,T\mathbf{e}^2,\ldots , T\mathbf{e}^N\in Y\); per l'omogeneità della norma di \(Y\) e per la disuguaglianza triangolare hai:
\[
\| T\mathbf{x} \|_Y = |x_1|\ \| T\mathbf{e}^1\|_Y + |x_2|\ \| T\mathbf{e}^2\|_Y +\cdots + |x_N|\ \| T\mathbf{e}^N\|_Y
\]
con a secondo membro numeri reali nonnegativi (perché non si è mai visto un vettore di \(Y\) che abbia norma infinita... ), dunque maggiorando ognuno dei numeri \( \| T\mathbf{e}^n\|_Y\) con quello più grande (esistente, perché un insieme numerico finito ha sempre un massimo) ed usando il Lemma richiamato nella dimostrazione, trovi:
\[
\begin{split}
\| T\mathbf{x} \|_Y &\leq \max \left\{ \| T\mathbf{e}^1\|_Y, \| T\mathbf{e}^2\|_Y,\ldots , \| T\mathbf{e}^N \|_Y \right\}\cdot \Big(|x_1| + |x_2| +\cdots + |x_N|\Big)\\
&\leq \max \left\{ \| T\mathbf{e}^1\|_Y, \| T\mathbf{e}^2\|_Y,\ldots , \| T\mathbf{e}^N \|_Y \right\}\cdot \frac{1}{K}\ \| x_1\ \mathbf{e}^1 + x_2\ \mathbf{e}^2+\cdots +x_N\ \mathbf{e}^N \|_X\\
&= \max \left\{ \| T\mathbf{e}^1\|_Y, \| T\mathbf{e}^2\|_Y,\ldots , \| T\mathbf{e}^N \|_Y \right\}\cdot \frac{1}{K}\ \|\mathbf{x}\|_X
\end{split}
\]
(ove \(K>0\) è un'opportuna costante dipendente dalla scelta della base), da cui segue che \(T\) è limitato e che:
\[
\|T\|_{B(X;Y)} \leq \max \left\{ \| T\mathbf{e}^1\|_Y, \| T\mathbf{e}^2\|_Y,\ldots , \| T\mathbf{e}^N \|_Y \right\}\cdot \frac{1}{K}\; .
\]

[eliotsbowe]

Grazie mille, sei stato chiaro! Mi sorge un ultimo dubbio: assodato che il generico vettore x di uno spazio normato di dimensione finita ha norma finita, ha senso valutare il comportamento di un operatore al limite per [tex]\left \| x \right \|[/tex] tendente all'infinito? Penso ad esempio alla verifica della coercitività.

[gugo82]

Certo che ne ha.

D'altra parte, anche i numeri reali sono tutti "finiti", e però si può passare al limite per \(x\to \pm \infty\).


P.S.: Per curiosità, cosa studi? Non credo tu faccia Analisi nella vita, o no?

[eliotsbowe]

Mmm, giusta osservazione. Per il resto, nella vita uno studente di ingegneria elettronica che ha inserito nel piano di studi l'esame di analisi funzionale. Una materia tanto affascinante quanto ostica, quasi allucinogena all'avvicinarsi dell'esame: è in questo periodo che vengono fuori i dubbi più assurdi e i tentativi di fare il reciproco di un vettore.

[keccogrin-votailprof]

"gugo82":Siano \(X\) ed \(Y\) spazi vettoriali normati e \(T:X\to Y\) lineare.
Se \(\dim X<\infty\), allora \(T\) è limitato e perciò continuo.

E' vero anche il viceversa, cioè:

Siano \(\displaystyle X \) ed \(\displaystyle Y \) spazi vettoriali normati.
Se ogni operatore lineare \(\displaystyle T:(X,\|\cdot \|_{X}) \rightarrow (Y,\|\cdot \|_{Y}) \) è continuo, allora \(\displaystyle dim X <\infty \).

Qualcuno conosce la dimostrazione di questo fatto in generale? Dove posso trovarla? (Ho letto che si può fare sfruttando l'esistenza della base di Hamel, ovvero di una base, per \(\displaystyle X \)). In realtà, mi basterebbe anche solo capire questo esempio:

se \(\displaystyle X=C([0,1]) \), con \(\displaystyle \|f\|_{X}=max_{t \in [0,1]} |f(t)| \), e \(\displaystyle Y=\mathbb{R} \), si può considerare l'insieme dei monomi \(\displaystyle M=\{x^{n}:n \in \mathbb{N}\} \), e si trova una base \(\displaystyle A : M \subset A \).
Scrivendo \(\displaystyle f \) in funzione della base \(\displaystyle A \) con coefficienti \(\displaystyle c_{i} \), si definisce l'operatore lineare \(\displaystyle T_{n}f=c_{i} \ \ se f_{i}=x^{n}, 0 \) altrimenti \(\displaystyle \ \ \forall n \in \mathbb{N} \) e poi l'operatore lineare \(\displaystyle Tf=\sum_{n \in \mathbb{N}}n T_{n}f \) che è ben definito perché i \(\displaystyle c_{i} \) non nulli sono in numero finito per ogni \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \).
E la successione \(\displaystyle \{f_{m}\} : f_{m}(x)=x^{m} \) avrà \(\displaystyle |Tf_{m}|=m \longrightarrow \infty \) per \(\displaystyle m\rightarrow \infty \).
E si conclude che è possibile costruire un operatore lineare \(\displaystyle T \) non limitato se lo spazio \(\displaystyle X \) ha dimensione infinita.

Quello che non riesco a capire è: come può essere che \(\displaystyle Tf \) abbia solo un numero finito di \(\displaystyle c_i \) non nulli, dal momento che la base \(\displaystyle A \) ha dimensione infinita?
Mi scuso in anticipo per l'incompletezza dell'esempio riportato, dove temo che manchino alcuni passaggi...

Grazie per l'attenzione,
Ciao!