Operatori lineari su spazi di Banach

[celeste4]

Allora, ho un problema con la seconda parte della dimostrazione di questa proposizione:

Sia E spazio di Banach, $T:E->E $ operatore linere.
Se $||T||<1$ allora $ (I-T)^(-1)=lim_(n->\infty) \sum_{k=0}^{n} T^k$

1)Allora, sia $s_n =\sum_{k=0}^{n} T^k$
se dimostro che è di Cauchy, poiché E è di Banach, quindi è completo, ho dimostrato che $s_n$ è convergente

Considero $s_m = \sum_{k=0}^{m} T^k$

Suppongo m>n, cosicche posso scrivere m=n+p

Allora $||s_m-s_n||=|| \sum_{k=0}^{n+p} T^k - \sum_{k=0}^{n} T^k||= ||\sum_{k=n+1}^{p} T^k||<=\sum_{k=n+1}^{p} ||T^k||<=\sum_{k=n+1}^{p} ||T||^k$
Ho ottenuto la serie geometrica, che converge.

2)Ora devo dimostrare che $s_n$ converge a $(I-T)^(-1)$

Ho pensato che vi converge se:
$|| (\sum_{k=0}^{n} T^k ) - (I-T)^(-1)||<= epsilon$

ma da qui non so come proseguire..

[irenze]

Io proverei invece a dimostrare che $ (I-T)^(-1) x=lim_(n->\infty) \sum_{k=0}^{n} T^k x $ per ogni $ x \in E $, ovvero che $ x=lim_(n->\infty) (I-T) \sum_{k=0}^{n} T^k x $ per ogni $x \in E$.
A occhio è più facile da dimostrare...

[Eredir]

Chiamiamo $S = lim_{n->\infty} \sum_{k=0}^n T^k$.
Ora bisogna dimostrare che $S$ è l'inverso di $(I-T)$, ovvero $S(I-T) = (I-T)S = I$.
Allora scriviamo $S(I-T) = lim_{n->\infty} \sum_{k=0}^n T^k (I-T) = lim_{n->\infty} \sum_{k=0}^n (T^k-T^{k+1}) = lim_{n->\infty} (I-T^{n+1}) = I - lim_{n->\infty} T^{n+1}$.
Poichè $lim_{n->\infty} ||T^n|| <= lim_{n->\infty} ||T||^n = 0$ allora $S(I-T) = I$. L'altro uguaglianza si dimostra in maniera analoga.

[celeste4]

ok, grazie mille!