Operatori lineari chiusi
Ho un dubbio con il seguente esercizio:
Il problema è che le richieste mi sembrano "conflittuali": siccome $S$ non è continuo, per il teorema del grafico chiuso \(G(S)\) non è chiuso, e quindi \(\overline{G(S)} \setminus G(S) \ne \varnothing\); preso \((x,y) \in \overline{G(S)} \setminus G(S)\), per la caratterizzazione dei chiusi negli spazi metrici esisterà una successione di punti \((x_n,y_n)_{n \ge 1} \subseteq G(S)\) che converge ad \((x,y)\) nella norma del grafico. In particolare la successione è di Cauchy, ma non converge ad alcun elemento di \(G(S)\) per costruzione (l'unicità del limite è garantita dal fatto che tutti gli spazi metrici sono di Hausdorff). Che \(T\) non sia continuo lo si deduce dal fatto che non lo è \(S\), ma per la chiusura? In sostanza devo mostrare che se \((x_n)_{n \ge 1} \subseteq \mathcal{D}(T)\) è una successione convergente ad \(x \in E \) e \(\lim_{n \to \infty} T x_n = y \in G(S)\) allora \(x \in \mathcal{D}(T)\) e \(T x = y\)... e se non vedo problemi per il dominio (\(E\) è di Banach per ipotesi), mi sembra che la non-continuità di \(S\) congiuntamente al fatto che \(G(S)\) non è chiuso - che ne è una conseguenza - mandino tutto a farsi benedire. Potete indicarmi dove il mio ragionamento è fallace?
Ringrazio.
Siano \(E\) ed \(F\) spazi di Banach ed \(S: E \to F\) lineare ma non continuo. Sia \(G(S) \subseteq E \times F\) il grafico di \(S\). Si provi che \(G(S)\) non è completo, e che \(T: E \to G(S)\) definito da \(T x =(x,Sx)\) è chiuso ma non continuo.
Il problema è che le richieste mi sembrano "conflittuali": siccome $S$ non è continuo, per il teorema del grafico chiuso \(G(S)\) non è chiuso, e quindi \(\overline{G(S)} \setminus G(S) \ne \varnothing\); preso \((x,y) \in \overline{G(S)} \setminus G(S)\), per la caratterizzazione dei chiusi negli spazi metrici esisterà una successione di punti \((x_n,y_n)_{n \ge 1} \subseteq G(S)\) che converge ad \((x,y)\) nella norma del grafico. In particolare la successione è di Cauchy, ma non converge ad alcun elemento di \(G(S)\) per costruzione (l'unicità del limite è garantita dal fatto che tutti gli spazi metrici sono di Hausdorff). Che \(T\) non sia continuo lo si deduce dal fatto che non lo è \(S\), ma per la chiusura? In sostanza devo mostrare che se \((x_n)_{n \ge 1} \subseteq \mathcal{D}(T)\) è una successione convergente ad \(x \in E \) e \(\lim_{n \to \infty} T x_n = y \in G(S)\) allora \(x \in \mathcal{D}(T)\) e \(T x = y\)... e se non vedo problemi per il dominio (\(E\) è di Banach per ipotesi), mi sembra che la non-continuità di \(S\) congiuntamente al fatto che \(G(S)\) non è chiuso - che ne è una conseguenza - mandino tutto a farsi benedire. Potete indicarmi dove il mio ragionamento è fallace?
Ringrazio.
Risposte
Questi problemi sfruttano fatti topologici abbastanza sottili e complicano inutilmente le cose, IMHO. E' infatti chiaro che la chiusura dell'operatore $T$ è un fatto patologico dovuto al prendere uno spazio in arrivo che non è di Banach.
Comunque, mi sembra facile: hai una successione $x_n\to x$ in $E$ e tale che $(x_n, Sx_n) \to (y, Sy)$. Per unicità del limite $x=y$. Eccetera.
Comunque, mi sembra facile: hai una successione $x_n\to x$ in $E$ e tale che $(x_n, Sx_n) \to (y, Sy)$. Per unicità del limite $x=y$. Eccetera.
Sai probabilmente dove sono cascato? Qui
Infatti pensavo a questo: la norma del grafico "fa convergere separatamente" le coordinate della successione, e quindi se \((x_n, S x_n ) \to (x,y)\), allora \(x_n \to x\); siccome \(S\) non è continuo, non posso dedurre che \(Sx_n \to S x\), e cioè che \(y = S x\). Ma forse devo considerare la convergenza "in blocco".
Per il resto è tutto chiaro, grazie!
"dissonance":
[...] e tale che $(x_n, Sx_n) \to (y, Sy)$. [...]
Infatti pensavo a questo: la norma del grafico "fa convergere separatamente" le coordinate della successione, e quindi se \((x_n, S x_n ) \to (x,y)\), allora \(x_n \to x\); siccome \(S\) non è continuo, non posso dedurre che \(Sx_n \to S x\), e cioè che \(y = S x\). Ma forse devo considerare la convergenza "in blocco".
Per il resto è tutto chiaro, grazie!
Ma infatti è tutta una montatura. Se $S$ non è chiuso, o almeno chiudibile, non si hanno proprietà interessanti di convergenza, punto.
Qui però abbiamo costruito un tramaccio definendo questo operatore $T$ con codominio $E\times G(S)$, invece di dargli il codominio naturale $E\times (E\times F)$ (che infatti è di Banach). E' come prendere l'insieme $(0, 1)$ e dire che è chiuso, perché in effetti lo è, nella topologia indotta su $(0, 1)$ dalla topologia di $RR$. E grazie al Ciccillo! , come dicono a Foggia. (Ciccillo è un soprannome affettuoso di un certo organo umano
)
Qui però abbiamo costruito un tramaccio definendo questo operatore $T$ con codominio $E\times G(S)$, invece di dargli il codominio naturale $E\times (E\times F)$ (che infatti è di Banach). E' come prendere l'insieme $(0, 1)$ e dire che è chiuso, perché in effetti lo è, nella topologia indotta su $(0, 1)$ dalla topologia di $RR$. E grazie al Ciccillo! , come dicono a Foggia. (Ciccillo è un soprannome affettuoso di un certo organo umano
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Oh diamine, \(G(S)\) è chiuso in \(G(S)\). Sono un mona 
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