Operatori in spazi di Hilbert e loro spettro
Salve a tutti,
avrei una domanda abbastanza veloce di analisi funzionale.
Prima di tutto mettiamoci in $ l^2(RR) $ spazio delle successioni a coefficienti reali per cui converga la serie dei coefficienti al quadrato (perdonate la pigrizia nel non aver scritto in Tex).
Su questo spazio prendo il solito operatore isometrico ma non unitario $T(a1,a2,a3,...) = (0,a1,a2,a3,...)$.
E' vero che tutto il cerchio unitario, circonferenza inclusa, fa parte dello spettro residuo di questo operatore?
(Credo di averlo dimostrato, ma non sono proprio sicuro).
avrei una domanda abbastanza veloce di analisi funzionale.
Prima di tutto mettiamoci in $ l^2(RR) $ spazio delle successioni a coefficienti reali per cui converga la serie dei coefficienti al quadrato (perdonate la pigrizia nel non aver scritto in Tex).
Su questo spazio prendo il solito operatore isometrico ma non unitario $T(a1,a2,a3,...) = (0,a1,a2,a3,...)$.
E' vero che tutto il cerchio unitario, circonferenza inclusa, fa parte dello spettro residuo di questo operatore?
(Credo di averlo dimostrato, ma non sono proprio sicuro).
Risposte
Hai provato a fare i conti?
Sì ma non ho in questo momento tempo di riscriverli, nessuno saprebbe semplicemente confermarmi o smentirmi il risultato trovato? In caso contrario domani mattina li scrivo bene tutti!
Al momento non ho riferimenti e non posso fare i conti "bene".
L'unica cosa certa è che \(T\) non ha autovalori (si vede "a occhio"), quindi \(\sigma_P =\varnothing\), e che il raggio spettrale è \(\leq \|T\|=1\).
Rimarrebbe da controllare lo spettro continuo, cioè se esistono \(\lambda\) tali che \(\mathcal{R}(T-\lambda I)\) è denso in \(\ell^2\).
Se non erro, l'equazione \((T-\lambda I)x=y\) ha come soluzione formale la convoluzione \(\Lambda *y\), ove per comodità ho posto \(\Lambda :=((-1/\lambda)^n)\), cioè:
\[
(T-\lambda I)x=y \qquad \Leftrightarrow \qquad x=\left( \sum_{k=1}^n \left(\frac{-1}{\lambda}\right)^k\ \ y_{n-k}\right)\; ;
\]
quindi starebbero in \(\sigma_C\) quei valori di \(\lambda\) tali che \(|\lambda|\leq 1\) per i quali si verifica \(y\in c_{00} \Rightarrow \Lambda *y \in \ell^2\)...
Se \(y=\mathbf{e}^m =(\delta_n^m)\) col \(\delta\) di Kroneker, dalla precedente trai che la soluzione formale corrispondente ad \(\mathbf{e}^m\) è:
\[
x=(x_n) \qquad \text{con } x_n:= \begin{cases} 0 & \text{, se } n
\]
si ha:
\[
\| x\|_2^2 \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 = \lambda^{2m}\ \sum_{n=m}^\infty \frac{1}{\lambda^{2n}}
\]
e tale serie converge se \(|\lambda |<1\); perciò per ogni \(\lambda\) con modulo \(<1\) tutti i vettori della base hilbertiana canonica di \(\ell^2\) appartengono al range di \(T-\lambda I\); dato che il range è un sottospazio di \(\ell^2\), da ciò segue che \(c_{00}\subseteq \mathbb{R}(T-\lambda I)\), quindi \(T-\lambda I\) ha range denso in \(\ell^2\) (perché \(c_{00}\) è denso in \(\ell^2\)).
Perciò sembra che i \(|\lambda|<1\) appartengano allo spettro continuo di \(T\), non allo spettro residuo.
Prova un po'. Poi magari posta pure un po' di conti tuoi.
L'unica cosa certa è che \(T\) non ha autovalori (si vede "a occhio"), quindi \(\sigma_P =\varnothing\), e che il raggio spettrale è \(\leq \|T\|=1\).
Rimarrebbe da controllare lo spettro continuo, cioè se esistono \(\lambda\) tali che \(\mathcal{R}(T-\lambda I)\) è denso in \(\ell^2\).
Se non erro, l'equazione \((T-\lambda I)x=y\) ha come soluzione formale la convoluzione \(\Lambda *y\), ove per comodità ho posto \(\Lambda :=((-1/\lambda)^n)\), cioè:
\[
(T-\lambda I)x=y \qquad \Leftrightarrow \qquad x=\left( \sum_{k=1}^n \left(\frac{-1}{\lambda}\right)^k\ \ y_{n-k}\right)\; ;
\]
quindi starebbero in \(\sigma_C\) quei valori di \(\lambda\) tali che \(|\lambda|\leq 1\) per i quali si verifica \(y\in c_{00} \Rightarrow \Lambda *y \in \ell^2\)...
Se \(y=\mathbf{e}^m =(\delta_n^m)\) col \(\delta\) di Kroneker, dalla precedente trai che la soluzione formale corrispondente ad \(\mathbf{e}^m\) è:
\[
x=(x_n) \qquad \text{con } x_n:= \begin{cases} 0 & \text{, se } n
\]
si ha:
\[
\| x\|_2^2 \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 = \lambda^{2m}\ \sum_{n=m}^\infty \frac{1}{\lambda^{2n}}
\]
e tale serie converge se \(|\lambda |<1\); perciò per ogni \(\lambda\) con modulo \(<1\) tutti i vettori della base hilbertiana canonica di \(\ell^2\) appartengono al range di \(T-\lambda I\); dato che il range è un sottospazio di \(\ell^2\), da ciò segue che \(c_{00}\subseteq \mathbb{R}(T-\lambda I)\), quindi \(T-\lambda I\) ha range denso in \(\ell^2\) (perché \(c_{00}\) è denso in \(\ell^2\)).
Perciò sembra che i \(|\lambda|<1\) appartengano allo spettro continuo di \(T\), non allo spettro residuo.
Prova un po'. Poi magari posta pure un po' di conti tuoi.
Dunque, sicuramente lo $0$ deve stare nello spettro residuo, siccome $T^(-1)$ è definito sul complemento ortogonale al vettore $(1,0,0,0,.....)$ che non è un dominio denso.
Poi per quanto riguarda le soluzioni dell'equazione $(T-lambda)x = y$ esplicitamente diventa:
$(- lambdax_1, x_1 - lambdax_2, x_2 - lambdax_3,..) = (y_1, y_2, y_3,...)$.
Scrivo ignorantemente la soluzione risolvendo algebricamente come: $x = (-y_1/lambda, -y_2/lambda- y_1 /lambda^2, ..., -y_n/lambda + ... - y_1/lambda^n, ... )$, se ora prendo per esempio $y = (1,0,0,0...)$ ho che $||x||^2 = sum_(n=0)^(+oo)|lambda|^(-2n) $ che diverge per ogni $lambda$ nel cerchio unitario, circonferenza compresa. Quindi in teoria questo $y$ non sta nel range di $(T-lambda)$ che coincide col dominio di $(T-lambda)^(-1)$, da cui concludo che non è denso.
Ho sbagliato tutto?
Poi per quanto riguarda le soluzioni dell'equazione $(T-lambda)x = y$ esplicitamente diventa:
$(- lambdax_1, x_1 - lambdax_2, x_2 - lambdax_3,..) = (y_1, y_2, y_3,...)$.
Scrivo ignorantemente la soluzione risolvendo algebricamente come: $x = (-y_1/lambda, -y_2/lambda- y_1 /lambda^2, ..., -y_n/lambda + ... - y_1/lambda^n, ... )$, se ora prendo per esempio $y = (1,0,0,0...)$ ho che $||x||^2 = sum_(n=0)^(+oo)|lambda|^(-2n) $ che diverge per ogni $lambda$ nel cerchio unitario, circonferenza compresa. Quindi in teoria questo $y$ non sta nel range di $(T-lambda)$ che coincide col dominio di $(T-lambda)^(-1)$, da cui concludo che non è denso.
Ho sbagliato tutto?
Certo, ho sbagliato io prima.
Infatti, nel post precedente ho invertito un \(>\) con un \(<\)... Cose che capitano ad una certa età.
Quindi il mio ragionamento mostra che per \(|\lambda| >1\), il range di \(T-\lambda I\) è denso (che poi dovrebbe essere tutto lo spazio, perché quei \(\lambda\) lì dovrebbero stare nel risolvente).
Infatti, nel post precedente ho invertito un \(>\) con un \(<\)... Cose che capitano ad una certa età.
Quindi il mio ragionamento mostra che per \(|\lambda| >1\), il range di \(T-\lambda I\) è denso (che poi dovrebbe essere tutto lo spazio, perché quei \(\lambda\) lì dovrebbero stare nel risolvente).
Ma quindi è giusta la mia conclusione?
Edit: trovato sul Reed, Simon, sembrerebbe giusto!
Edit: trovato sul Reed, Simon, sembrerebbe giusto!
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